東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1) $i\alpha \beta =1$ より $\alpha \beta =-i$ である。$\alpha =x+yi$ とおく。すると$${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\bar{\alpha }}}={\displaystyle \frac{\bar{\alpha }+\alpha }{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{2x}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}$$である。

また $\beta =-i\mathrm{/}\alpha$ であり、$$\beta ={\displaystyle \frac{-i\bar{\alpha }}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{-y-xi}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}$$ だから $$\beta +\bar{\beta }=2\mathrm{Re}\beta =-{\displaystyle \frac{2y}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}$$ である。条件 $${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\bar{\alpha }}}=\beta +\bar{\beta }$$ より $${\displaystyle \frac{2x}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}=-{\displaystyle \frac{2y}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}$$ であるから $x+y=0$ である。

これは点 $\alpha =(x,y)$ が直線 $x+y=0$ 上にあることを表す。この直線は、複素数平面上の2点 $1=(1,0)$ と $-i=(0,-1)$ の垂直二等分線である。したがって $$\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha -(-i)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha +i\mathrm{\mid }$$ である。さらに $\alpha \beta =-i$ より $$\mathrm{\mid }\alpha \beta -\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-i-\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha +i\mathrm{\mid }$$ なので $$\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \beta -\alpha \mathrm{\mid }$$ である。

(2) $x+y=0$ より、$\alpha =x-xi=x(1-i)$ と書ける。また $$\alpha +\bar{\alpha }=2x<0$$ だから $x<0$ である。さらに $$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}}$$ より $$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$$ である。$x<0$ だから $$x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}$$ であり $$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}(-1+i)$$ である。

また $\alpha \beta =-i$ なので、三角形の3つの頂点は $1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}(-1+i),-i$ である。辺 $1$ と $-i$ の長さは $\mathrm{\mid }1+i\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$ である。(1)より残りの2辺も等しく、直接計算しても $$\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha +i\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$$ である。したがって、この三角形は $1,\alpha ,\alpha \beta \text{ を頂点とする正三角形}$ である。

複素数平面上の正三角形

$\alpha \beta =-i$ を先に固定し、2番目の条件を「点 $\alpha$ が1と $-i$ から等距離」に読み替える。(2)は直線 $x+y=0$ と原点中心の円の交点として決める。

(1)
$\alpha =x+iy$ とする。$i\alpha \beta =1$ より$$\alpha \beta =-i\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}+{\displaystyle \frac{1}{\bar{\alpha }}}={\displaystyle \frac{2x}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}},\beta +\bar{\beta }=-{\displaystyle \frac{2y}{\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}}\mathrm{.}$$よって $x+y=0$。これは点 $\alpha$ が1と $-i$ の垂直二等分線上にあることを表す。したがって$$\mathrm{\mid }\alpha -1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha +i\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \beta -\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$(2)
$\alpha =x(1-i)$、実部条件から $x<0$ である。絶対値条件より$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{2}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}},$$したがって$$\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}(-1+i)\mathrm{.}$$3頂点は $1,\alpha ,-i$ で、3辺はいずれも $\sqrt{2}$。ゆえに正三角形である。