東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$\alpha =x+yi$ とし、$$r=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}$$ とおく。また円の中心は実軸上にあるので、中心を実数 $h$ とする。条件は $$\mathrm{\mid }1-h\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha -h\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\alpha }^2-h\mathrm{\mid }$$ である。

まず $\mathrm{\mid }1-h{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\alpha -h{\mathrm{\mid }}^2$ より $(1-h{)}^2=(x-h{)}^2+y^2$ である。整理すると $$1-2h+h^2=x^2-2hx+h^2+y^2$$ だから
\begin{equation*}
2h(1-x)=1-r^2 　　(1)
\end{equation*}
である。

次に $\mathrm{\mid }1-h{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }{\alpha }^2-h{\mathrm{\mid }}^2$ を用いる。${\alpha }^2$ の実部は $x^2-y^2$、絶対値は $r^2$ であるから $$\mathrm{\mid }{\alpha }^2-h{\mathrm{\mid }}^2=r^4-2h(x^2-y^2)+h^2$$ である。したがって $$1-2h+h^2=r^4-2h(x^2-y^2)+h^2$$ より
\begin{equation*}
2h(1-x^2+y^2)=1-r^4 　　(2)
\end{equation*}
である。

(1) ,(2)から $h$ を消去する。計算を整理すると $x(r^2-1)((x-1{)}^2+y^2)=0$ を得る。ここで $(x-1{)}^2+y^2=0$ は $\alpha =1$ を表すが、3点 $1,\alpha ,{\alpha }^2$ が相異なるという条件に反するので除く。

したがって候補は $r=1$ または $x=0$ である。 $r=1$ の場合、$\alpha$ は単位円上にある。このとき $\alpha =1$ はもちろん除く。また $\alpha =-1$ なら ${\alpha }^2=1$ となり、3点が相異ならないので除く。よって $$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1,\alpha \mathrm{\ne }1,-1$$ である。 $x=0$ の場合、$\alpha$ は虚軸上にある。$\alpha =0$ なら ${\alpha }^2=0$ で3点が相異ならないので除く。したがって $$\mathrm{Re}\alpha =0,\alpha \mathrm{\ne }0$$ である。

以上より、求める範囲は単位円 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ から $1,-1$ を除いた部分と、虚軸から0を除いた部分の和である。

最後に円の半径を求める。$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$ の場合は中心 $h=0$ であり、半径は1である。これは $${\displaystyle \frac{1+\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}{2}}=1$$ と一致する。

虚軸の場合、$x=0$ なので(1)から $$2h=1-r^2,h={\displaystyle \frac{1-r^2}{2}}$$ である。円の半径 $R$ は点1から中心 $h$ までの距離だから $$R=\mathrm{\mid }1-h\mathrm{\mid }=1-{\displaystyle \frac{1-r^2}{2}}={\displaystyle \frac{1+r^2}{2}}$$ である。したがって、どちらの場合も円の半径は ${\displaystyle \frac{1+\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}{2}}$ である。

$\alpha$ の存在範囲

実軸上の中心を $h$ とする円の方程式を、複素数 $z$ に対して $\mathrm{\mid }z{\mathrm{\mid }}^2-2h\mathrm{Re}z=\text{一定}$ と書く。$z=1,\alpha ,{\alpha }^2$ を代入して差を取り、候補となる単位円と虚軸を幾何的に確認する。

$\alpha =x+yi$、$r=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$、円の中心を実数 $h$ とする。点 $1$ と $\alpha$ が同じ円上にある条件は$$r^2-2hx=1-2h,$$すなわち$$2h(1-x)=1-r^2\mathrm{.}\text{(1)}$$同様に、点 $1$ と ${\alpha }^2$ について$$2h(1-x^2+y^2)=1-r^4\mathrm{.}\text{(2)}$$(1),(2)を消去すると$$x(r^2-1)\{(x-1{)}^2+y^2\}=0.$$最後の因子は $\alpha =1$ であり、3点が相異なる条件に反する。したがって$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1\text{または}\mathrm{Re}\alpha =0.$$単位円上では $\alpha =1,-1$ を除く。虚軸上では $\alpha =0$ を除く。逆に、単位円上の許された点では中心0の単位円が条件を満たす。虚軸上で $\alpha =iy\mathrm{\ne }0$ なら、3点は$$1,iy,-y^2$$であり、中心$$h={\displaystyle \frac{1-y^2}{2}}$$の円上にある。よってこの二つの軌跡が必要十分である。

半径 $R$ は単位円の場合に $R=1$。虚軸の場合には$$R=1-h={\displaystyle \frac{1+y^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって両方をまとめて$$R={\displaystyle \frac{1+\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^2}{2}}$$である。