東北大学 2000年度 後期日程理系（後期）数学 第5問

(1) $P$ を $x$ 軸上、$Q$ を $y$ 軸上に取り $PQ=r$ とする。向きを表すために $$P=(r\cos \theta ,0),Q=(0,r\sin \theta )$$ とおく。$$P-Q=(r\cos \theta ,-r\sin \theta )$$ である。 $A$ は $PQ$ を $P$ 側へ延長し、$AP=a$ となる点なので $$A=P+{\displaystyle \frac{a}{r}}(P-Q)=((r+a)\cos \theta ,-a\sin \theta )$$ である。したがって $A=(x,y)$ とおけば $${\displaystyle \frac{x^2}{(r+a{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$$ であり、$$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{(r+a{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1$$ である。

同様に、$B$ は $PQ$ を $Q$ 側へ延長し、$BQ=b$ となる点なので $$B=Q+{\displaystyle \frac{b}{r}}(Q-P)=(-b\cos \theta ,(r+b)\sin \theta )$$ である。したがって $$C_2:{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{(r+b{)}^2}}=1$$ である。

(2) $r=2(\sqrt{3}-1)$、$a=b=2$ のとき $$r+a=2\sqrt{3},r+b=2\sqrt{3}$$ である。したがって$$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{12}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1,C_2:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{12}}=1$$である。

2つの楕円は $x$ 軸、$y$ 軸および直線 $y=x$ に関して対称である。第1象限の交点を求めると、2式を引いて$$({\displaystyle \frac{1}{12}}-{\displaystyle \frac{1}{4}})x^2+({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{12}})y^2=0$$より $x^2=y^2$ で、第1象限では $x=y$ である。これを $C_1$ に代入して $${\displaystyle \frac{x^2}{12}}+{\displaystyle \frac{x^2}{4}}=1$$ だから $x^2=3$ であり、交点は $(\sqrt{3},\sqrt{3})$ である。

第1象限で、$0\leqq x\leqq \sqrt{3}$ では $C_1$ の上側が低く、$\sqrt{3}\leqq x\leqq 2$ では $C_2$ の上側が低い。よって共通部分の面積は$$4\{{\int }_0^{\sqrt{3}}2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{12}}}dx+{\int }_{\sqrt{3}}^{2}2\sqrt{3}\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}dx\}$$である。

第1の積分では $x=2\sqrt{3}\sin u$ とおく。$x=0$ から $\sqrt{3}$ までで $u$ は $0$ から $\pi \mathrm{/}6$ まで動くので$${\int }_0^{\sqrt{3}}2\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{12}}}dx=4\sqrt{3}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}{\cos }^{2}udu={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{3}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。第2の積分では $x=2\sin u$ とおくと、$u$ は $\pi \mathrm{/}3$ から $\pi \mathrm{/}2$ まで動くので$${\int }_{\sqrt{3}}^{2}2\sqrt{3}\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}dx=4\sqrt{3}{\int }_{\pi \mathrm{/}3}^{\pi \mathrm{/}2}{\cos }^{2}udu={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$である。

したがって第1象限の面積は ${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}}$ であり、全体の面積はその4倍だから ${\displaystyle \frac{8\sqrt{3}\pi }{3}}$ である。

指定値では原点中心の2楕円になるので極座標で共通部分の動径を比較する。直線 $\theta =\pi \mathrm{/}4$ で境界が切り替わる。

(1) $$P=(r\cos \theta ,0),Q=(0,r\sin \theta )$$とおく。延長方向から$$A=((r+a)\cos \theta ,-a\sin \theta ),B=(-b\cos \theta ,(r+b)\sin \theta )\mathrm{.}$$よって$$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{(r+a{)}^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{a^2}}=1,C_2:{\displaystyle \frac{x^2}{b^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{(r+b{)}^2}}=1.$$(2)
指定値では$$C_1:{\displaystyle \frac{x^2}{12}}+{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1,C_2:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{12}}=1.$$極座標 $$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$$ では$${\rho }_1^2={\displaystyle \frac{12}{{\cos }^2\theta +3{\sin }^2\theta }},{\rho }_2^2={\displaystyle \frac{12}{3{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}\mathrm{.}$$第1象限の $0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}4$ では ${\rho }_2\leqq {\rho }_1$ であり、残りは対称である。
したがって第1象限の共通面積は$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}{\displaystyle \frac{12}{3{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}d\theta \mathrm{.}$$$u=\tan \theta$ とおけば$$12{\int }_0^1{\displaystyle \frac{du}{3+u^2}}\mathrm{.}$$さらに $u=\sqrt{3}\tan \phi$ とおくと，$u=0,1$ はそれぞれ $\phi =0,\pi \mathrm{/}6$ に対応する。よって$$12{\int }_0^1{\displaystyle \frac{du}{3+u^2}}=4\sqrt{3}{\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}d\phi ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\pi }{3}}\mathrm{.}$$全体はその4倍だから$${\displaystyle \frac{8\sqrt{3}\pi }{3}}\mathrm{.}$$