東北大学 2000年度 後期日程理系（後期）数学 第6問

$y$ 軸に関して対称なグラフは $x$ を $-x$ に替えればよいので $$g(x)=f(-x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$$ である。

(1)
まず $f(x)=g(x)$ を解く。 $$x^3+b{x}^2-cx+d=-x^3+b{x}^2+cx+d$$ より $2x^3-2cx=2x(x^2-c)=0$ である。$c>0$ だから、交点の $x$ 座標は $-\sqrt{c},0,\sqrt{c}$ である。

次に、点 $(0,d)$ で $y=g(x)$ に接する直線 $l$ を求める。$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+2bx+c$ なので $g^{\mathrm{\prime }}(0)=c$ である。したがって $l:y=cx+d$ である。$l$ と $y=f(x)$ の交点は $x^3+b{x}^2-cx+d=cx+d$ すなわち $x(x^2+bx-2c)=0$ を満たす。よって $x$ 座標は $0,{\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2+8c}}{2}},{\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2+8c}}{2}}$ である。

(2) $$f(x)-l(x)=x^3+b{x}^2-2cx=x(x^2+bx-2c)$$ である。2次方程式 $x^2+bx-2c=0$ の2解を$$\alpha ={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2+8c}}{2}}>0,\beta ={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2+8c}}{2}}<0$$とおく。$f-l$ は $[\beta ,0]$ で正、$[0,\alpha ]$ で負であるから $$S_1={\int }_{\beta }^0(f(x)-l(x))dx-{\int }_0^{\alpha }(f(x)-l(x))dx$$ である。

原始関数は $$\int (x^3+b{x}^2-2cx)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{b{x}^3}{3}}-c{x}^2$$ である。ここで $\alpha ,\beta$ は $x^2+bx-2c=0$ の解なので、$\alpha +\beta =-b$、$\alpha \beta =-2c$ を用いて整理すると $$S_1={\displaystyle \frac{b^4+12b^{2}c+24c^2}{12}}$$ となる。

(3) $f$ と $g$ の差は $$f(x)-g(x)=2x^3-2cx=2x(x^2-c)$$ である。2曲線は $$x=-\sqrt{c},0,\sqrt{c}$$ で交わり、対称性から面積は $$S_2=2{\int }_0^{\sqrt{c}}2x(c-x^2)dx$$ である。よって$$S_2=4{[{\displaystyle \frac{c{x}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^{\sqrt{c}}=4({\displaystyle \frac{c^2}{2}}-{\displaystyle \frac{c^2}{4}})=c^2$$である。

条件 $S_1=11S_2$ は $${\displaystyle \frac{b^4+12b^{2}c+24c^2}{12}}=11c^2$$ である。整理して $b^4+12b^{2}c-108c^2=0$ を得る。$u=b^2$ とおくと $u^2+12cu-108c^2=0$ であり、$c>0$ だから $u=6c,-18c$ のうち非負であり得るのは $u=6c$ だけである。したがって $b^2=6c$ である。$d$ は面積にも交点の差にも影響しないので任意である。

よって条件は $$c>0,b^2=6c,d\text{ は任意の実数}$$ である。

$S_1$ は2つの非零交点を2次方程式の根と見て、原始関数の根での値を対称式だけで計算する。

(1) $$g(x)=f(-x)=-x^3+b{x}^2+cx+d\mathrm{.}$$したがって $f=g$ の交点の $x$ 座標は$$-\sqrt{c},0,\sqrt{c}\mathrm{.}$$$g^{\mathrm{\prime }}(0)=c$ なので接線は $l:y=cx+d$。$f=l$ は$$x(x^2+bx-2c)=0$$より$$0,{\displaystyle \frac{-b+\sqrt{b^2+8c}}{2}},{\displaystyle \frac{-b-\sqrt{b^2+8c}}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$x^2+bx-2c=0$ の2根を $\alpha >0,\beta <0$ とする。$$H(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{b{x}^3}{3}}-c{x}^2$$とおけば $H^{\mathrm{\prime }}=f-l$ であり$$S_1=-H(\alpha )-H(\beta )\mathrm{.}$$$$\alpha +\beta =-b,\alpha \beta =-2c$$ から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\alpha }^2+{\beta }^2}& {\displaystyle =b^2+4c,}\\ {\displaystyle {\alpha }^3+{\beta }^3}& {\displaystyle =-b^3-6bc,}\\ {\displaystyle {\alpha }^4+{\beta }^4}& {\displaystyle =b^4+8b^{2}c+8c^2\mathrm{.}}\end{array}$$これらを代入すると$$S_1={\displaystyle \frac{b^4+12b^{2}c+24c^2}{12}}\mathrm{.}$$(3)
2曲線の差は $2x(x^2-c)$ なので$$S_2=2{\int }_0^{\sqrt{c}}2x(c-x^2)dx=c^2\mathrm{.}$$$S_1=11S_2$ を整理すると$$b^4+12b^{2}c-108c^2=0.$$$u=b^2\geqq 0$ とおけば $u=6c,-18c$ であり、$c>0$ から$$b^2=6c\mathrm{.}$$$d$ は任意の実数である。