東北大学 2000年度 前期日程理系数学 第3問

(1) $$y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$$ とおく。両辺に $cx+d$ を掛けると$$(cy-a)x=b-dy$$である。$ad-bc\mathrm{\ne }0$ より逆関数が存在するから$$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{dx-b}{-cx+a}}$$である。

(2)
$f^{-1}=f$ は $f(f(x))=x$ と同値である。直接合成すると$$f(f(x))={\displaystyle \frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}}\mathrm{.}$$これが恒等的に $x$ に等しいための条件は$$b(a+d)=0,c(a+d)=0,(a-d)(a+d)=0$$である。$a+d\mathrm{\ne }0$ なら $b=c=0,a=d$ となり $f(x)=x$ なので、問題の条件に反する。したがって$$a+d=0.$$逆に $a+d=0$ なら、$ad-bc\mathrm{\ne }0$ のもとで上の合成は恒等関数となるから十分である。

(3)
$f^{-1}=f\circ f$ は $f(f(f(x)))=x$ と同値である。$s=a+d$ とおいて3回合成を整理すると$$f(f(f(x)))={\displaystyle \frac{(a^3+2abc+bcd)x+bK}{cKx+d^3+abc+2bcd}},$$ただし$$K=a^2+ad+d^2+bc=(a+d{)}^2-(ad-bc)$$である。分子と分母の定数倍を許してこの式が恒等的に $x$ に等しいための条件は$$bK=0,cK=0,(a-d)K=0$$である。$f(x)\mathrm{\ne }x$ より $b,c,a-d$ の少なくとも1つは0でないから、必要条件は $K=0$ である。逆に $K=0$ なら3回合成は恒等関数となる。よって求める条件は$$(a+d{)}^2=ad-bc$$である。

一次分数関数の等式を分母を払って直接比較する。(2)は2回合成、(3)は3回合成が恒等変換となる条件に直す。

(1) $$y={\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}}$$を $x$ について解けば$$x={\displaystyle \frac{dy-b}{-cy+a}}$$だから$$f^{-1}(x)={\displaystyle \frac{dx-b}{-cx+a}}\mathrm{.}$$(2)
$f^{-1}=f$ は $f(f(x))=x$ と同値である。直接合成すると$$f(f(x))={\displaystyle \frac{(a^2+bc)x+b(a+d)}{c(a+d)x+bc+d^2}}\mathrm{.}$$これが恒等的に $x$ に等しいため、係数比較から$$c(a+d)=0,b(a+d)=0,a^2=d^2$$を得る。$a+d\mathrm{\ne }0$ なら $b=c=0,a=d$ となって $f(x)=x$ なので除外される。
よって、求める条件は$$a+d=0.$$(3)
$f^{-1}=f\circ f$ は $f(f(f(x)))=x$ と同値である。3回合成して整理すると$$f(f(f(x)))={\displaystyle \frac{(a^3+2abc+bcd)x+bK}{cKx+d^3+abc+2bcd}},K=a^2+ad+d^2+bc\mathrm{.}$$これが恒等関数になるための係数条件は$$bK=cK=(a-d)K=0.$$$f(x)\mathrm{\ne }x$ だから $b,c,a-d$ の少なくとも1つは0でなく、したがって $K=0$ である。逆に $K=0$ なら3回合成は恒等関数になる。最後に$$K=(a+d{)}^2-(ad-bc)$$より、求める条件は$$(a+d{)}^2=ad-bc$$である。