東北大学 2001年度 後期日程文系（後期）数学 第4問

$u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }(u\geqq 0)$ とおくと $f(x)=u^2-2au+b$ である。正の解 $u>0$ は $x=\pm u$ の2つの解に対応し、$u=0$ は $x=0$ の1つの解に対応する。

(1) $a\leqq 0$ のとき $g(u)=u^2-2au+b$ とおくと $$g^{\mathrm{\prime }}(u)=2u-2a\geqq 0(u\geqq 0)$$ である。したがって $g(u)$ は $u\geqq 0$ で単調増加である。

よって方程式 $g(u)=1$ は高々1個の正の $u$ 解をもち、方程式 $g(u)=-1$ も高々1個の正の $u$ 解をもつ。正の $u$ 解1個は実数 $x$ の2解に対応するので、最大でも $2+2=4$ 個である。

実際、例えば $b<-1$ とすれば、$g(u)=-1$ と $g(u)=1$ はそれぞれ正の解を1個もつ。したがって最大値は $4$ である。

(2) $N=6$ となるには、$u>0$ の解が合計3個あり、$u=0$ の解は出ないことが必要である。$u=0$ の解があると、解の個数が奇数になるためである。 $a\leqq 0$ では(1)より最大4個なので、$a>0$ とする。放物線 $$g(u)=u^2-2au+b=(u-a{)}^2+b-a^2$$ は $u=a$ で最小値 $b-a^2$ をとる。

水平線 $y=1$ との正の交点数を考える。$b>1$ かつ $b<a^2+1$ のとき2個、$b<1$ のとき1個である。境界 $b=1$ では $u=0$ が出るので、$N=6$ には使えない。

水平線 $y=-1$ との正の交点数は、$-1<b<a^2-1$ のとき2個、$b<-1$ または $b=a^2-1$ のとき1個である。境界 $b=-1$ では $u=0$ が出るので除く。

合計で正の $u$ 解が3個になるのは、次の2通りである。

第一に、$g(u)=1$ が正の解1個、$g(u)=-1$ が正の解2個をもつ場合である。これは $$a>0,-1<b<1,b<a^2-1$$ である。

第二に、$g(u)=1$ が正の解2個、$g(u)=-1$ が正の解1個をもつ場合である。これは接する場合 $b=a^2-1$ で、さらに $b>1$ が必要だから $a>\sqrt{2},b=a^2-1$ である。

したがって、$N=6$ となる範囲は $$a>0,-1<b<1,b<a^2-1$$ と $a>\sqrt{2},b=a^2-1$ の和集合である。図示すると、帯 $-1<b<1$ のうち放物線 $b=a^2-1$ より下側にある $a>0$ の部分と、放物線 $b=a^2-1$ 上で $b>1$ となる部分である。

$u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ として、水平線 $1,-1$ ごとに
2次方程式を解く。解 $u=a\pm \sqrt{\cdots }$ のうち正のものの個数を
$a,b$ の条件別に表へ整理する。

(1)

$u=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq 0$ とおき$$g(u)=(u-a{)}^2+b-a^2$$とする。$a\leqq 0$ なら $g$ は $u\geqq 0$ で単調増加する。
$g(u)=1,-1$ はそれぞれ高々1個の正の根をもち、
各正根は $x=\pm u$ の2解を与える。したがって $N\leqq 4$。
$b<-1$ なら両方の方程式が正根を1個ずつもつので、最大値は4である。

(2)

$N=6$ には $a>0$ が必要である。$$g(u)=1⟺u=a\pm \sqrt{a^2-b+1},$$$$g(u)=-1⟺u=a\pm \sqrt{a^2-b-1}\mathrm{.}$$正根の個数を整理すると$$\begin{array}{cc}\text{方程式}& \text{正根が2個となる条件}\\ g(u)=1& 1<b<a^2+1\\ g(u)=-1& -1<b<a^2-1\end{array}$$である。正根が合計3個になるのは次の2場合である。$$a>0,-1<b<1,b<a^2-1,$$または$$a>\sqrt{2},b=a^2-1.$$境界 $b=\pm 1$ では $u=0$ が1個の $x$ 解しか与えないので除く。
したがって、上の開領域と放物線上の半直線が求める図示範囲である。