東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

まず2つの2次式を因数分解する。 $$x^2+(1-a^2)x+a^3-2a^2+a=(x-a+1)(x-a^2+a)$$ である。また $$x^2+(2a-7)x+a^2-7a+10=(x+a-2)(x+a-5)$$ である。

集合 $A$ について、2つの根は $a-1,a^2-a$ である。ここで $$a^2-a-(a-1)=a^2-2a+1=(a-1{)}^2\geqq 0$$ だから、常に $a-1\leqq a^2-a$ である。したがって $A=[a-1,a^2-a]$ である。

集合 $B$ について、2つの根は $2-a,5-a$ であり、$2-a<5-a$ である。$<0$ の不等式なので $B=(2-a,5-a)$ である。

したがって $A\cap B$ が空でないためには、閉区間 $[a-1,a^2-a]$ と開区間 $(2-a,5-a)$ が交わればよい。そのための条件は $a^2-a>2-a$ かつ $a-1<5-a$ である。最初の不等式は $a^2>2$ であり、2つ目は $2a<6,a<3$ である。

よって $$a<-\sqrt{2}\text{または}a>\sqrt{2}$$ かつ $a<3$ であるから、求める範囲は $$a<-\sqrt{2},\sqrt{2}<a<3$$ である。端点 $a=\pm \sqrt{2}$ では $A$ の端点が $B$ の開端点と一致するだけなので、共通部分は生じない。

閉区間 $A$ と開区間 $B$

因数分解した二つの集合を区間として描き、交わらない条件の否定を取る。閉区間 $A$ が開区間 $B$ の完全な左側または右側にある場合を除くことで、開端点に由来する厳密不等号を保つ。

二つの式は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^2+(1-a^2)x+a^3-2a^2+a}& {\displaystyle =(x-a+1)(x-a^2+a),}\\ {\displaystyle x^2+(2a-7)x+a^2-7a+10}& {\displaystyle =(x+a-2)(x+a-5)}\end{array}$$と因数分解できる。しかも$$(a^2-a)-(a-1)=(a-1{)}^2\geqq 0$$だから$$A=[a-1,a^2-a],B=(2-a,5-a)\mathrm{.}$$$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ となるのは、$A$ が $B$ の左側にある$$a^2-a\leqq 2-a$$または、$A$ が $B$ の右側にある$$a-1\geqq 5-a$$場合である。等号の場合も、接する点は $B$ に含まれないため共通部分は空である。

したがって共通部分が空でない条件は$$a^2-a>2-a,a-1<5-a\mathrm{.}$$すなわち$$a^2>2,a<3.$$よって$$a<-\sqrt{2}\text{または}\sqrt{2}<a<3$$である。