東北大学 2001年度 後期日程文系（後期）数学 第3問

$$s=\sin t,c=\cos t$$ とおく。$-{90}^{\circ }<t<{90}^{\circ }$ より $c>0$ である。

2点 $P,Q$ の $y$ 座標が等しいことから $$\tan t=3\sin t-2\cos t+a+2$$ である。すなわち $${\displaystyle \frac{s}{c}}=3s-2c+a+2$$ なので $$a={\displaystyle \frac{s}{c}}-3s+2c-2$$ を得る。

次に $x$ 座標の一致を用いる。条件は $${\displaystyle \frac{1}{2}}s+\cos 2t=\sin 2t+ac$$ である。ここに $$\cos 2t=c^2-s^2,\sin 2t=2sc$$ および上で求めた $a$ を代入する。右辺の $ac$ は $ac=s-3sc+2c^2-2c$ であるから $${\displaystyle \frac{1}{2}}s+c^2-s^2=2sc+s-3sc+2c^2-2c$$ となる。整理すると $2sc+4c-s-2=0$ すなわち $(2c-1)(s+2)=0$ である。

ここで $-1<s<1$ だから $s+2>0$ である。よって $c={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。範囲条件 $c>0$ のもとで $$t={60}^{\circ },t=-{60}^{\circ }$$ の2つが得られる。

最後に $a$ を求める。$t={60}^{\circ }$ では $s=\sqrt{3}\mathrm{/}2,c=1\mathrm{/}2$ なので $$a=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+1-2=-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。$t=-{60}^{\circ }$ では $s=-\sqrt{3}\mathrm{/}2,c=1\mathrm{/}2$ なので $$a=-\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}+1-2=-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。

したがって$$(t,a)=({60}^{\circ },-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),(-{60}^{\circ },-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である。

2座標の一致から $a$ を消去し、まず
$\cos t=1\mathrm{/}2$ を得る。そこで $u=\tan (t\mathrm{/}2)$ を用いて
範囲内の角を2つに確定し、最後に $a$ を戻す。

$s=\sin t,c=\cos t$ とおく。
範囲条件から $c>0$ である。$y$ 座標の一致式を $c$ 倍すると$$ac=s-3sc+2c^2-2c\mathrm{.}$$これを $x$ 座標の一致式$${\displaystyle \frac{1}{2}}s+c^2-s^2=2sc+ac$$へ代入して整理すると$$(2c-1)(s+2)=0.$$$-1<s<1$ より $s+2>0$ なので $c=1\mathrm{/}2$ である。

$u=\tan (t\mathrm{/}2)$ とすると$$\cos t={\displaystyle \frac{1-u^2}{1+u^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$より $u=\pm 1\mathrm{/}\sqrt{3}$。したがって$$t=\pm {60}^{\circ }\mathrm{.}$$$$a={\displaystyle \frac{s}{c}}-3s+2c-2$$へ戻すと$$(t,a)=({60}^{\circ },-1-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}),(-{60}^{\circ },-1+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$