東北大学 2000年度 後期日程文系（後期）数学 第2問

与えられた多項式を $$F(x)=x^3-(p-3)x^2-3x+p-1$$ とおく。まず $F(1)=1-(p-3)-3+p-1=0$ であるから、$x=1$ は $p$ によらず解である。したがって $$F(x)=(x-1)\{x^2+(4-p)x+(1-p)\}$$ と因数分解できる。

3つの解がすべて整数であるためには、残りの2次方程式 $x^2+(4-p)x+(1-p)=0$ の2つの解も整数であればよい。その2解を $u,v$ とすると、解と係数の関係から $u+v=p-4,uv=1-p$ である。これらを加えると $uv+u+v=-3$ となる。よって $(u+1)(v+1)=uv+u+v+1=-2$ である。 $u,v$ は整数なので、$u+1,v+1$ は積が $-2$ である整数の組である。したがって順序を除けば $(u+1,v+1)=(1,-2),(-1,2)$ だけを調べればよい。これより $(u,v)=(0,-3),(-2,1)$ である。 $(u,v)=(0,-3)$ のとき、$uv=1-p$ を用いて $0=1-p$ だから $p=1$ である。$(u,v)=(-2,1)$ のとき $-2=1-p$ だから $p=3$ である。

実際、$p=1$ のときの解は $1,0,-3$、$p=3$ のときの解は $1,-2,1$ であり、いずれも整数である。したがって求める値は $p=1,3$ である。

固定解 $x=1$ を除いた2次方程式の判別式を完全平方とおき、平方差8の整数因数分解で$p$ を絞る。

まず$$x^3-(p-3)x^2-3x+p-1=(x-1)\{x^2+(4-p)x+(1-p)\}\mathrm{.}$$3解がすべて整数なら、後半の2次方程式の解の和が $p-4$ なので $p$ は整数である。
また判別式$$\mathrm{\Delta }=(4-p{)}^2-4(1-p)=(p-2{)}^2+8$$は整数の平方でなければならない。そこで $\mathrm{\Delta }=k^2$ とおくと$$\{k-(p-2)\}\{k+(p-2)\}=8.$$2因子は同じ偶奇であり積が8なので、符号と順序を除けば$$(2,4),(-2,-4)$$だけを調べればよい。これより $p-2=\pm 1$、すなわち$$p=1,3.$$実際、$$\begin{array}{cc}p& \text{3解}\\ 1& 1,0,-3\\ 3& 1,1,-2\end{array}$$となり、いずれも条件を満たす。