東北大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
解と係数の関係より $$\alpha +\beta =p,\alpha \beta =5p$$ である。$s_n={\alpha }^n+{\beta }^n$ とおくと、$\alpha$、$\beta$ は $x^2=px-5p$ を満たすので、$n\geqq 2$ に対して $s_n=p{s}_{n-1}-5p{s}_{n-2}$ が成り立つ。また $s_0=2,s_1=p$ である。順に計算すると $s_2=p^2-10p,$ $$s_3=p(p^2-10p)-5p^2=p^3-15p^2,$$ $$s_4=p(p^3-15p^2)-5p(p^2-10p)=p^4-20p^3+50p^2,$$ $$\begin{array}{rl}{\displaystyle s_5}& {\displaystyle =p(p^4-20p^3+50p^2)-5p(p^3-15p^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =p^5-25p^4+125p^3\mathrm{.}}\end{array}$$条件 ${\alpha }^5+{\beta }^5=p^5$ より $p^5-25p^4+125p^3=p^5$ である。$p\mathrm{\ne }0$ だから $$-25p^4+125p^3=-25p^3(p-5)=0$$ となり、$p=5$ である。

(2)
2次方程式が虚数解をもつためには判別式が負である。すなわち $p^2-20p<0$ であり、$p\mathrm{\ne }0$ も合わせて $0<p<20$ である。

虚数解は互いに共役なので$$\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta ),\beta =r(\cos \theta -i\sin \theta )$$とおける。ただし $0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ である。解と係数の関係から $$2r\cos \theta =p,r^2=5p$$ である。前者を2乗して後者を代入すると $$p^2=4r^2{\cos }^2\theta =20p{\cos }^2\theta$$ であり、$p>0$ より $p=20{\cos }^2\theta$ である。

また、${\alpha }^5$ が実数になるには、偏角 $5\theta$ が ${180}^{\circ }$ の整数倍であればよい。$0^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$ なので $$0^{\circ }<5\theta <{450}^{\circ }$$ であり、可能なのは $$5\theta ={180}^{\circ },{360}^{\circ }$$ である。したがって $$\theta ={36}^{\circ },{72}^{\circ }$$ である。

よって $$p=20{\cos }^2{36}^{\circ },p=20{\cos }^2{72}^{\circ }$$ である。ここで$$\cos {36}^{\circ }={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}},\cos {72}^{\circ }={\displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{4}}$$を用いると $$20{\cos }^2{36}^{\circ }=20\cdot {\displaystyle \frac{(1+\sqrt{5}{)}^2}{16}}={\displaystyle \frac{5}{2}}(3+\sqrt{5}),$$ $$20{\cos }^2{72}^{\circ }=20\cdot {\displaystyle \frac{(\sqrt{5}-1{)}^2}{16}}={\displaystyle \frac{5}{2}}(3-\sqrt{5})\mathrm{.}$$ したがって求める値は $$p={\displaystyle \frac{5}{2}}(3+\sqrt{5}),{\displaystyle \frac{5}{2}}(3-\sqrt{5})$$ である。

(1) は5乗和を基本対称式で直接展開する。(2)は共役な2根の比が5乗根になることから偏角を限定する。

(1)

$s=\alpha +\beta =p$、$r=\alpha \beta =5p$ とおく。恒等式$${\alpha }^5+{\beta }^5=s^5-5r{s}^3+5r^{2}s$$より$${\alpha }^5+{\beta }^5=p^5-25p^4+125p^3\mathrm{.}$$これが $p^5$ に等しく、$p\mathrm{\ne }0$ だから$$25p^3(5-p)=0$$より$$p=5.$$(2)

非実根を $z$、共役根を $\bar{z}$ とする。$z^5$ が実数なら$$z^5={\bar{z}}^5$$なので $(z\mathrm{/}\bar{z}{)}^5=1$ である。$$z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )$$、$0<\theta <{90}^{\circ }$ とおけば $5\theta$ は ${180}^{\circ }$ の倍数であり、$$\theta ={36}^{\circ },{72}^{\circ }\mathrm{.}$$また$$p=z+\bar{z}=2\rho \cos \theta ,5p=z\bar{z}={\rho }^2$$だから$$p=20{\cos }^2\theta \mathrm{.}$$したがって$$p={\displaystyle \frac{5}{2}}(3+\sqrt{5}),p={\displaystyle \frac{5}{2}}(3-\sqrt{5})\mathrm{.}$$