東北大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

被積分関数の中身を $\varphi (x)=(x-t+2)(x+t)$ とおく。零点は $x=t-2,x=-t$ である。$t\geqq 1$ なので、$-t\leqq -1$ である。また $t-2$ は $1\leqq t\leqq 3$ のとき区間 $[-1,1]$ に入る。

場合1:$1\leqq t\leqq 3$
このとき $[-1,t-2]$ では $\varphi (x)\leqq 0$、$[t-2,1]$ では $\varphi (x)\geqq 0$ である。よって $$f(t)={\int }_{-1}^{t-2}-\varphi (x)dx+{\int }_{t-2}^1\varphi (x)dx$$ である。ここで $\varphi (x)=x^2+2x+2t-t^2$ だから、計算すると $$f(t)={\displaystyle \frac{2}{3}}(2t^3-9t^2+12t-1)$$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(t)=4(t-1)(t-2)$ となる。$1\leqq t\leqq 3$ では、$t=2$ で最小となり $f(2)=2$ である。

場合2:$t\geqq 3$
このとき $t-2\geqq 1$ なので、区間 $[-1,1]$ 全体で $\varphi (x)\leqq 0$ である。したがって $$f(t)={\int }_{-1}^1-\varphi (x)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}(3t^2-6t-1)$$ である。この式の導関数は $4t-4$ であり、$t\geqq 3$ では正である。よってこの範囲での最小は $t=3$ のときで、値は $16\mathrm{/}3$ である。

以上より、全体の最小は場合1の $t=2$ で得られ、最小値は2である。したがって $t=2,\min f(t)=2$ である。

絶対値の符号分割

$u=x+1,s=t-1$ と置くと、積分区間は $0\leqq u\leqq 2$、被積分式は $\mathrm{\mid }{u}^2-s^2\mathrm{\mid }$ になる。零点 $u=s$ が区間内にあるかで分け、一変数多項式を最小化する。

$$u=x+1,s=t-1\geqq 0$$と置けば$$f(t)={\int }_0^2\mathrm{\mid }{u}^2-s^2\mathrm{\mid }du\mathrm{.}$$$0\leqq s\leqq 2$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(t)}& {\displaystyle ={\int }_0^s(s^2-u^2)du+{\int }_s^2(u^2-s^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{s}^3-2s^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$微分すると $4s(s-1)$ だから、この範囲の最小は $s=1$ で、値は2である。

$s\geqq 2$ では$$f(t)={\int }_0^2(s^2-u^2)du=2s^2-{\displaystyle \frac{8}{3}}$$で単調増加する。したがって全体の最小は$$s=1,t=2,f(t)=2$$である。