東北大学 2001年度 後期日程文系（後期）数学 第2問

まず係数を求める。 $C:y=2x^2+ax$ が原点で直線 $y=x$ と接する。原点を通ることは自動的に成り立つので、接線の傾きが1であればよい。$C$ の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=4x+a$ だから $a=1$ である。

次に $D:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+bx+c$ が点 $(2,2)$ で $y=x$ と接する。導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=x+b$ であるから $2+b=1$ より $b=-1$ である。また点 $(2,2)$ を通るので $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 2^2+2b+c=2$$ すなわち $2-2+c=2$ より $c=2$ である。したがって $$a=1,b=-1,c=2$$ である。

このとき $$C:y=2x^2+x,D:y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+2$$ である。直線 $y=x$ との差を見ると $C-x=2x^2$ であり、$C$ は $x\geqq 0$ で直線の上にある。また $$D-x={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-2x+2={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2{)}^2$$ であり、$D$ も直線の上にあり、$x=2$ で接する。 $C$ と $D$ の交点を求めると $2x^2+x={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+2$ すなわち $3x^2+4x-4=0$ である。よって正の交点は $x={\displaystyle \frac{2}{3}}$ である。

したがって囲まれた部分の面積 $S$ は$$S={\int }_0^{2\mathrm{/}3}\{(2x^2+x)-x\}dx+{\int }_{2\mathrm{/}3}^2\{({\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-x+2)-x\}dx$$である。すなわち $$S={\int }_0^{2\mathrm{/}3}2x^{2}dx+{\int }_{2\mathrm{/}3}^2{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2{)}^{2}dx$$ である。

計算すると$${\int }_0^{2\mathrm{/}3}2x^{2}dx={\displaystyle \frac{16}{81}},{\int }_{2\mathrm{/}3}^2{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2{)}^{2}dx={\displaystyle \frac{32}{81}}$$であるから $$S={\displaystyle \frac{48}{81}}={\displaystyle \frac{16}{27}}$$ である。よって面積は ${\displaystyle \frac{16}{27}}$ である。

接点条件から係数を決めた後、
各放物線と直線 $y=x$ の差を完全平方として表す。
2放物線の正の交点で積分区間を分ける。

$C$ の導関数は $4x+a$ であり、
原点で傾き1だから $a=1$ である。
$D$ の導関数は $x+b$ であり、$x=2$ で傾き1だから
$b=-1$。さらに $(2,2)$ を通るので $c=2$ である。$$a=1,b=-1,c=2.$$このとき直線との差は$$C(x)-x=2x^2,D(x)-x={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2{)}^2\mathrm{.}$$また $C=D$ の正の解は $x=2\mathrm{/}3$ である。したがって面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{2\mathrm{/}3}2x^{2}dx+{\int }_{2\mathrm{/}3}^2{\displaystyle \frac{1}{2}}(x-2{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{81}}+{\displaystyle \frac{32}{81}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$