東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

固定した $u$ を考える。点 $P,Q$ はどちらも $x=u$ の平面上にあり、$yz$ 平面内の座標で見ると $$P:(y,z)=(u,0),Q:(y,z)=(0,\sqrt{1-u^2})$$ である。また点 $(u,0,0)$ は、この $yz$ 平面では原点 $(0,0)$ に対応する。 $$s=\sqrt{1-u^2}$$ とおくと、線分 $PQ$ は $(u,0)$ と $(0,s)$ を結ぶ線分である。この直線は $${\displaystyle \frac{y}{u}}+{\displaystyle \frac{z}{s}}=1$$ すなわち $sy+uz-us=0$ である。原点からこの直線までの距離は ${\displaystyle \frac{us}{\sqrt{s^2+u^2}}}$ である。ここで $s^2+u^2=1$ だから、距離は $$us=u\sqrt{1-u^2}$$ である。$0\leqq u\leqq 1$ では垂線の足は線分上にあるので、これが点 $(u,0,0)$ から線分 $PQ$ までの距離である。

(2)

固定した $x=u$ の断面を考える。線分 $PQ$ を $x$ 軸のまわりに回転すると、$yz$ 平面では原点から線分 $PQ$ までの距離を内半径とし、原点から線分上の点までの最大距離を外半径とする円環ができる。

(1) より内半径は $$r(u)=u\sqrt{1-u^2}$$ である。外半径は端点 $P,Q$ のうち原点から遠い方の距離である。点 $P$ までの距離は $u$、点 $Q$ までの距離は $\sqrt{1-u^2}$ なので、$$R(u)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{1-u^2}& (0\leqq u\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}),\\ u& ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\leqq u\leqq 1)\end{array}$$である。

したがって体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}\{(1-u^2)-u^2(1-u^2)\}du+\pi {\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1\{u^2-u^2(1-u^2)\}du$$である。整理すると$$V=\pi {\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}(1-2u^2+u^4)du+\pi {\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1{u}^{4}du$$である。

計算して$${\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}(1-2u^2+u^4)du={[u-{\displaystyle \frac{2u^3}{3}}+{\displaystyle \frac{u^5}{5}}]}_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}={\displaystyle \frac{43}{60\sqrt{2}}}$$であり、$${\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1{u}^{4}du={\left[{\displaystyle \frac{u^5}{5}}\right]}_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{20\sqrt{2}}}$$である。よって $$V=\pi ({\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}}})={\displaystyle \frac{\pi (3+5\sqrt{2})}{15}}$$ である。

固定した $x=u$ の回転断面

固定した $x=u$ の断面を $yz$ 平面で調べる。内半径は直角三角形の斜辺への高さとして求め、外半径は二端点までの距離の大きい方とする。体積は $\max \{u^2,1-u^2\}$ を用いて一つの式にまとめてから対称点で分割する。

(1) $$s=\sqrt{1-u^2}$$ とする。$yz$ 平面では線分 $PQ$ は$$P=(u,0),Q=(0,s)$$を結ぶ。三角形 $OPQ$ は直角三角形で、面積は $us\mathrm{/}2$、斜辺 $PQ$ の長さは$$\sqrt{u^2+s^2}=1$$である。原点から斜辺への高さを $h$ とすると$${\displaystyle \frac{1}{2}}h\cdot 1={\displaystyle \frac{1}{2}}us\mathrm{.}$$よって距離は$$h=u\sqrt{1-u^2}\mathrm{.}$$(2)
回転断面の内半径の2乗は$$u^2(1-u^2)$$である。外半径の2乗は$$\max \{u^2,1-u^2\}$$だから$$V=\pi {\int }_0^1[\max \{u^2,1-u^2\}-u^2(1-u^2)]du\mathrm{.}$$$u=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ で分ければ$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V}{\pi }}}& {\displaystyle ={\int }_0^{1\mathrm{/}\sqrt{2}}(1-2u^2+u^4)du+{\int }_{1\mathrm{/}\sqrt{2}}^1{u}^{4}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{43}{60\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{20\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$V={\displaystyle \frac{\pi (3+5\sqrt{2})}{15}}\mathrm{.}$$