東北大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第1問

領域 $D$ のうち、$1\leqq x\leqq X$ の部分の面積は $${\int }_1^X{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}dx={\left[2\sqrt{x}\right]}_1^X=2(\sqrt{X}-1)$$ である。

全体の面積は $2(\sqrt{a}-1)$ である。$x=a_k$ までで面積が全体の $k\mathrm{/}n$ になるから $$2(\sqrt{a_k}-1)={\displaystyle \frac{k}{n}}\cdot 2(\sqrt{a}-1)$$ である。したがって $$\sqrt{a_k}=1+{\displaystyle \frac{k}{n}}(\sqrt{a}-1)$$ である。

よって求める極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{k}{n}}(\sqrt{a}-1)}}$$である。これは区間 $[0,1]$ のリーマン和であり、極限は $${\int }_0^1{\displaystyle \frac{ds}{1+s(\sqrt{a}-1)}}$$ である。 $a>1$ なので $$\sqrt{a}-1>0$$ であり$${\int }_0^1{\displaystyle \frac{ds}{1+s(\sqrt{a}-1)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-1}}{[\log \{1+s(\sqrt{a}-1)\}]}_0^1={\displaystyle \frac{\log \sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}}$$である。したがって ${\displaystyle \frac{\log a}{2(\sqrt{a}-1)}}$ である。

累積面積を全体面積で割った変数 $s$ を導入する。
分割点は $s=k\mathrm{/}n$ に対応するため、求める平均は
この変数に関する関数値の平均へ直接移る。

$1\leqq x\leqq a$ に対して累積面積比を$$s={\displaystyle \frac{{\displaystyle {\int }_1^x{\xi }^{-1\mathrm{/}2}d\xi }}{{\displaystyle {\int }_1^a{\xi }^{-1\mathrm{/}2}d\xi }}}={\displaystyle \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{a}-1}}$$とおく。面積を $n$ 等分する点では $s=k\mathrm{/}n$ だから$$\sqrt{a_k}=1+{\displaystyle \frac{k}{n}}(\sqrt{a}-1)\mathrm{.}$$したがって求める極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{1+{\displaystyle \frac{k}{n}}(\sqrt{a}-1)}}={\int }_0^1{\displaystyle \frac{ds}{1+s(\sqrt{a}-1)}}\mathrm{.}$$積分して$${\displaystyle \frac{\log \sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}}={\displaystyle \frac{\log a}{2(\sqrt{a}-1)}}\mathrm{.}$$