東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

(1)
2つの放物線の差をとると $$\{-(x-a{)}^2+b\}-x^2=-2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+b-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}$$ である。囲まれる部分ができるには $2b-a^2>0$ が必要である。ここで $h=2b-a^2$ とおくと、差は $-2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{h}{2}}$ であり、交点は $$x={\displaystyle \frac{a}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{h}}{2}}$$ である。$X=x-a\mathrm{/}2$ とおくと、面積 $S$ は$$S={\int }_{-\sqrt{h}\mathrm{/}2}^{\sqrt{h}\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{h}{2}}-2X^2)dX$$$$=2{\int }_0^{\sqrt{h}\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{h}{2}}-2X^2)dX=2{[{\displaystyle \frac{h}{2}}X-{\displaystyle \frac{2}{3}}{X}^3]}_0^{\sqrt{h}\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{h^{3\mathrm{/}2}}{3}}$$である。$S=9\mathrm{/}8$ より $${\displaystyle \frac{h^{3\mathrm{/}2}}{3}}={\displaystyle \frac{9}{8}}$$ だから $$h^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{27}{8}},h={\displaystyle \frac{9}{4}}$$ である。したがって $2b-a^2={\displaystyle \frac{9}{4}}$ となり、求める式は $$b={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{8}}$$ である。

(2)
(1)を満たす放物線は $$y=-(x-a{)}^2+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{8}}=-x^2+2ax-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{8}}$$ である。これと $C:y=m{x}^2+nx+p$ との交点の $x$ 座標は $$(m+1)x^2+(n-2a)x+p+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{8}}=0$$ を満たす。

もし $m=-1$ なら、この式は $(n-2a)x+p+a^2\mathrm{/}2-9\mathrm{/}8=0$ となる。$a=n\mathrm{/}2$ とすると $x$ の係数が消え、解がないか、またはすべての $x$ が解になるため、共有点がちょうど1点とはいえない。よって $m\mathrm{\ne }-1$ である。

したがって、すべての $a$ について共有点が1点だけであるためには、この2次方程式の判別式が $a$ の恒等式として0でなければならない。判別式を $D$ とすると $$D=(n-2a{)}^2-4(m+1)(p+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}-{\displaystyle \frac{9}{8}})$$ $$=2(1-m)a^2-4na+n^2-4(m+1)(p-{\displaystyle \frac{9}{8}})$$ である。これがすべての $a$ で0になるので、係数比較により $$2(1-m)=0,-4n=0,n^2-4(m+1)(p-{\displaystyle \frac{9}{8}})=0$$ である。したがって $$m=1,n=0,p={\displaystyle \frac{9}{8}}$$ を得る。

実際、このとき $y=x^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}$ であり、(1)の放物線との差は$$(x^2+{\displaystyle \frac{9}{8}})-(-x^2+2ax-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{8}})=2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2$$となるから、各 $a$ について $x=a\mathrm{/}2$ の1点だけを共有する。よって $C:y=x^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}$ である。

放物線族の包絡線

(1) は交点間の放物線弓形を、底辺幅と高さの1変数で積分する。(2)では(1)の放物線族を $a$ について平方完成し、その包絡線が $y=x^2+9\mathrm{/}8$ であることを見抜く。最後に一般の二次式との判別式で一意性を確認する。

(1)
二つの放物線の差は$$-2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+b-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\mathrm{.}$$$h=2b-a^2>0$ とおくと、交点は$$x={\displaystyle \frac{a}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{h}}{2}}$$であり、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{h}\mathrm{/}2}^{\sqrt{h}\mathrm{/}2}({\displaystyle \frac{h}{2}}-2X^2)dX}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{h^{3\mathrm{/}2}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$$S=9\mathrm{/}8$ より $h=9\mathrm{/}4$。したがって$$b={\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}$$(2)
(1)の放物線族を $F_a(x)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F_a(x)}& {\displaystyle =-x^2+2ax-{\displaystyle \frac{a^2}{2}}+{\displaystyle \frac{9}{8}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-2x{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって各 $a$ の放物線は$$y=x^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}$$に $x=a\mathrm{/}2$ で接する。この包絡線が求める候補である。

一般の $C:y=m{x}^2+nx+p$ と $F_a$ の交点方程式の判別式をすべての $a$ で0とすると$$2(1-m)a^2-4na+n^2-4(m+1)(p-{\displaystyle \frac{9}{8}})\equiv 0.$$係数比較から$$m=1,n=0,p={\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}$$よって$$C:y=x^2+{\displaystyle \frac{9}{8}}\mathrm{.}$$