東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

まず基本となる面積を求める。放物線 $y=x^2$ 上の2点のx座標の差を $h$ とすると、その2点を結ぶ弦と放物線で囲まれる面積は、平行移動して区間を $[0,h]$ と見れば $${\int }_0^h\{hx-x^2\}dx={\displaystyle \frac{h^3}{6}}$$ である。

したがって、線分 $P_0{P}_{2^n}$ と放物線で囲まれる面積は $$S={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}$$ である。

(1) $n=1$ では区間 $[p,q]$ を2等分する。折れ線と放物線の間に残る小さな面積は、長さ $(q-p)\mathrm{/}2$ の区間2個分であるから $$2\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{q-p}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{24}}$$ である。よって$$S_1=S-{\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{24}}={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}-{\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{24}}={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{8}}$$である。

(2) $n$ のとき、各小区間の長さは ${\displaystyle \frac{q-p}{2^n}}$ であり、小区間は $2^n$ 個ある。したがって、折れ線と放物線の間に残る面積は$$S-S_n=2^n\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{q-p}{2^n}}\right)}^3={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4^n}}$$である。同様に $$S-S_{n-1}={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4^{n-1}}}$$ であるから $$S-S_n={\displaystyle \frac{1}{4}}(S-S_{n-1})$$ である。すなわち $$S_n={\displaystyle \frac{3}{4}}S+{\displaystyle \frac{1}{4}}{S}_{n-1}$$ とも書ける。

(3)
(2)の残り面積の式から直接 $$S-S_n={\displaystyle \frac{S}{4^n}}$$ である。したがって$$S_n=S(1-{\displaystyle \frac{1}{4^n}})={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{6}}(1-{\displaystyle \frac{1}{4^n}})$$である。

(4)
条件 $S_n\geqq 0.999S$ は、(3)より $1-{\displaystyle \frac{1}{4^n}}\geqq 0.999$ と同値である。したがって $${\displaystyle \frac{1}{4^n}}\leqq 0.001={\displaystyle \frac{1}{1000}}$$ すなわち $4^n\geqq 1000$ である。$4^4=256$、$4^5=1024$ だから、最小の自然数 $n$ は $5$ である。

弦の細分と残り面積

一区間の弦と放物線の差を平行移動して直接積分し、その面積が幅 $h$ のみにより $h^3\mathrm{/}6$ となることを示す。細分後の残差を幾何級数として追う。

(1)
区間 $[r,r+h]$ の弦と $y=x^2$ の差は$$(x-r)(r+h-x)\mathrm{.}$$したがって小面積は$${\int }_r^{r+h}(x-r)(r+h-x)dx={\displaystyle \frac{h^3}{6}}\mathrm{.}$$全体では $S=(q-p{)}^3\mathrm{/}6$ であり、$n=1$ では$$S_1={\displaystyle \frac{3}{4}}S={\displaystyle \frac{(q-p{)}^3}{8}}\mathrm{.}$$(2)
$n$ 回細分後は幅 $h=(q-p)\mathrm{/}{2}^n$ の区間が $2^n$ 個あるので$$S-S_n=2^n{\displaystyle \frac{h^3}{6}}={\displaystyle \frac{S}{4^n}}\mathrm{.}$$ゆえに$$S_n={\displaystyle \frac{3}{4}}S+{\displaystyle \frac{1}{4}}{S}_{n-1}\mathrm{.}$$(3)
残差の式から$$S_n=S(1-{\displaystyle \frac{1}{4^n}})\mathrm{.}$$(4)$$S_n\geqq 0.999S⟺4^n\geqq 1000.$$$$4^4=256<1000\leqq 1024=4^5$$ より最小の $n$ は5である。