東北大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
放物線は $$y={\displaystyle \frac{x^2-a}{2}}$$ である。長方形は $$-1\leqq x\leqq 1,-1\leqq y\leqq 0$$ で表される。 $1\mathrm{/}2\leqq a\leqq 1$ のとき、$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\geqq \sqrt{a}$$ では $(x^2-a)\mathrm{/}2\geqq 0$ となるので、その縦線上では長方形全体が放物線の下にある。$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\sqrt{a}$$ では、放物線の下にある長さは $1+{\displaystyle \frac{x^2-a}{2}}$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle =2(1-\sqrt{a})+{\int }_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}}(1+{\displaystyle \frac{x^2-a}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2-{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^{3\mathrm{/}2}}\end{array}$$である。 $1\leqq a\leqq 2$ のときは、$-1\leqq x\leqq 1$ 全体で $(x^2-a)\mathrm{/}2\leqq 0$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1(1+{\displaystyle \frac{x^2-a}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+{\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{2}{3}}-2a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{7}{3}}-a}\end{array}$$である。

以上より$$S_1=\{\begin{array}{ll}2-{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^{3\mathrm{/}2}& ({\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 1),\\ {\displaystyle \frac{7}{3}}-a& (1\leqq a\leqq 2)\end{array}$$である。

(2)
長方形全体の面積は2であるから $S_1+S_2=2$ である。したがって $$S_1^2+S_2^2=S_1^2+(2-S_1{)}^2=2(S_1-1{)}^2+2$$ である。

(1) で得た $S_1$ は $a$ の増加とともに減少し、$a=1\mathrm{/}2$ で最大、$a=2$ で最小である。また $S_1=1$ となるのは、$1\leqq a\leqq 2$ の式から ${\displaystyle \frac{7}{3}}-a=1$ すなわち $a={\displaystyle \frac{4}{3}}$ のときである。よって最小値は $2$ であり、そのとき $a={\displaystyle \frac{4}{3}}$ である。

最大値は $S_1$ が1から最も離れる端点で生じる。$a=1\mathrm{/}2$ では $$S_1=2-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}$$ であり、$a=2$ では $S_1=1\mathrm{/}3$ である。前者の方が1から遠いので、最大は $a=1\mathrm{/}2$ である。その値は$${(2-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}})}^2+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{37}{9}}-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$である。

長方形を切る放物線

放物線より上の面積 $S_2$ を先に求める。対称性で $x\ge 0$ を2倍し、放物線が上辺 $y=0$ を横切る $a=1$ を境に分ける。(2)は $S_1+S_2=2$ と単調性で処理する。

(1)
放物線は $y=(x^2-a)\mathrm{/}2$ である。

${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq 1$ では $$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\sqrt{a}$$ の部分だけ放物線が長方形内にある。上側面積は$$S_2=2{\int }_0^{\sqrt{a}}{\displaystyle \frac{a-x^2}{2}}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$したがって$$S_1=2-{\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$1\leqq a\leqq 2$ では全区間で放物線が上辺以下なので$$S_2={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{a-x^2}{2}}dx=a-{\displaystyle \frac{1}{3}},S_1={\displaystyle \frac{7}{3}}-a\mathrm{.}$$(2)$$S_1^2+S_2^2=2(S_1-1{)}^2+2.$$$S_1$ は単調減少し、$S_1=1$ は $a=4\mathrm{/}3$ で起こるため最小値は2。両端を比べると最大は $a=1\mathrm{/}2$ で$${\displaystyle \frac{37}{9}}-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$$である。