東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
曲線 $D:y=-(x-a{)}^2+b$ が直線 $L:y=x$ と接するとする。接点の $x$ 座標を $t$ とおくと、$D$ の傾きは $-2(t-a)$ である。直線 $L$ の傾きは $1$ なので、接するためには $-2(t-a)=1$ でなければならない。よって $t=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

接点は $L$ 上にも $D$ 上にもあるから、$-(t-a{)}^2+b=t$ である。ここで $t-a=-1\mathrm{/}2$ を代入すると $-{\displaystyle \frac{1}{4}}+b=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり、$b=a-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

次に $C:y=x^2-2$ と $L:y=x$ の交点を求める。 $x^2-2=x$ より $(x-2)(x+1)=0$ なので、交点の $x$ 座標は $-1,2$ である。接点は直線 $L$ 上にあり、その $x$ 座標は $a-1\mathrm{/}2$ だから、線分上にある条件は $$-1\leqq a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq 2$$ である。したがって $$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。

(2)
(1) より $b=a-1\mathrm{/}4$ であるから、$D:y=-(x-a{)}^2+a-{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D-C}& {\displaystyle =\{-(x-a{)}^2+a-{\displaystyle \frac{1}{4}}\}-(x^2-2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2x^2+2ax-a^2+a+{\displaystyle \frac{7}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$平方完成すると $$D-C=-2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{-2a^2+4a+7}{4}}$$ である。ここで $M=-2a^2+4a+7$ とおくと、交点間では $$D-C=-2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{M}{4}}$$ である。また、(1) の範囲では $M>0$ である。交点は $$x={\displaystyle \frac{a}{2}}\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{2M}}{4}}$$ だから、$u=x-a\mathrm{/}2$ とおいて面積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-\sqrt{2M}\mathrm{/}4}^{\sqrt{2M}\mathrm{/}4}({\displaystyle \frac{M}{4}}-2u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{M}{4}}u-{\displaystyle \frac{2}{3}}{u}^3]}_0^{\sqrt{2M}\mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}{M}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}(-2a^2+4a+7{)}^{3\mathrm{/}2}$$ である。

(3) $$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}(-2a^2+4a+7{)}^{3\mathrm{/}2}$$ であり、$S(a)$ は $M(a)=-2a^2+4a+7$ が大きいほど大きい。$M(a)$ は上に凸の2次関数で、頂点は $a=1$ である。これは許された範囲 $-1\mathrm{/}2\leqq a\leqq 5\mathrm{/}2$ に含まれるので、最大は $a=1$ のときである。このとき $M(1)=9$ だから $$S_{\max }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}\cdot 9^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{4}}$$ である。

最小は区間の端で起こる。両端で $$M(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=M\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{9}{2}}$$ だから、$$S_{\min }={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}{\left({\displaystyle \frac{9}{2}}\right)}^{3\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{9}{8}}$$ である。

条件・検算

接点の範囲では両端を含むこと、面積を与える平方根の中身が正であること、最大・最小が実際に許容区間内で達成されることを確認した。

接線条件と許容範囲を求めた後、2曲線の差を交点を根にもつ2次式として扱う。中心から交点までの距離を $h$ とすれば差は $2(h^2-u^2)$ となり、面積を根の間隔から直接計算できる。

(1)
接点の $x$ 座標を $t$ とすると、傾きの一致から$$-2(t-a)=1$$である。よって $t=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、接点が $D$ 上にある条件から$$b=a-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$を得る。$C$ と $L$ の交点の $x$ 座標は $-1,2$ なので、$$-1\leqq a-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq 2$$より$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$$である。

(2)
$M=-2a^2+4a+7$ とおくと$$D-C=-2{(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{M}{4}}\mathrm{.}$$交点を $\alpha <\beta$ とし、$$h={\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}$$とおけば、根の条件から $$h^2={\displaystyle \frac{M}{8}}$$ である。$$u=x-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ とおくと$$D-C=2(h^2-u^2)$$だから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-h}^{h}2(h^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{3}}{h}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}{M}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$S(a)={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}}(-2a^2+4a+7{)}^{3\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(3)
$M=-2(a-1{)}^2+9$ である。許容区間内で最大は $a=1$ のときの
$M=9$、最小は両端 $a=-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}}$ のときの
$M={\displaystyle \frac{9}{2}}$ である。よって$$S_{\max }={\displaystyle \frac{9\sqrt{2}}{4}},S_{\min }={\displaystyle \frac{9}{8}}$$である。