東北大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $n=1$ のとき $f(x)=e^x-e^{-x}$ だから $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+e^{-x},f^{\mathrm{\prime }}(0)=2$$ である。 $n\geqq 2$ のときは $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=n(e^x-e^{-x}{)}^{n-1}(e^x+e^{-x})$$ である。$x=0$ では $e^0-e^0=0$ であり、$n-1\geqq 1$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=\{\begin{array}{ll}2& (n=1),\\ 0& (n\geqq 2)\end{array}$$である。

(2)
二項定理より$$(e^x-e^{-x}{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(e^x{)}^{n-k}(-e^{-x}{)}^k$$$$=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k{e}^{(n-2k)x}$$である。両辺を $x$ で微分すると$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k(n-2k)e^{(n-2k)x}$$である。ここで $x=0$ を代入すると$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k(n-2k)$$となる。これと(1)の結果を比べて$$\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k(n-2k)=\{\begin{array}{ll}2& (n=1),\\ 0& (n\geqq 2)\end{array}$$を得る。

微分値と二項和

(1) は $e^x-e^{-x}=2x+O(x^3)$ の一次項を見る。(2)は二項係数の二つの基本和を $(1-z{)}^n$ とその導関数から求め、指数関数を使わずに整理する。

(1) $$e^x-e^{-x}=2x+O(x^3)$$だから$$(e^x-e^{-x}{)}^n=2^n{x}^n+O(x^{n+2})\mathrm{.}$$したがって一次の係数、すなわち $f^{\mathrm{\prime }}(0)$ は$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=\{\begin{array}{ll}2& (n=1),\\ 0& (n\geqq 2)\mathrm{.}\end{array}$$(2)$$H(z)=(1-z{)}^n=\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k{z}^k$$とおく。求める和を $S_n$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle =n\sum _{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k-2\sum _{k=0}^{n}k{}_n{\mathrm{C}}_k(-1{)}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =nH(1)-2H^{\mathrm{\prime }}(1)\mathrm{.}}\end{array}$$$n\geqq 2$ では$$H(1)=0,H^{\mathrm{\prime }}(1)=-n(1-1{)}^{n-1}=0$$だから $S_n=0$。$n=1$ では直接$$S_1=1+1=2.$$よって指定された等式が成り立つ。