東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $g(x)=x-{\log }_e(1+x)$ とおく。$x\geqq 0$ では $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=1-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}={\displaystyle \frac{x}{1+x}}\geqq 0$$ である。また $g(0)=0-{\log }_{e}1=0$ である。したがって $x\geqq 0$ で $g(x)\geqq 0$ となり，${\log }_e(1+x)\leqq x$ が示された。

(2) $${\log }_{10}2401-{\log }_{10}2400={\log }_{10}(1+{\displaystyle \frac{1}{2400}})$$ である。底を $e$ に変えると$${\log }_{10}(1+{\displaystyle \frac{1}{2400}})={\displaystyle \frac{{\log }_e(1+1\mathrm{/}2400)}{{\log }_{e}10}}$$である。

(1) より $${\log }_e(1+{\displaystyle \frac{1}{2400}})\leqq {\displaystyle \frac{1}{2400}}$$ である。また $e<10$ なので ${\log }_{e}10>1$ である。したがって $${\log }_{10}2401-{\log }_{10}2400<{\displaystyle \frac{1}{2400}}$$ である。

(3) $2401=7^4$ であり，また $$2400=24\cdot 100=2^3\cdot 3\cdot {10}^2$$ である。したがって $${\log }_{10}2400=3{\log }_{10}2+{\log }_{10}3+2$$ であり，条件より $${\log }_{10}2400=3\cdot 0.3010+0.4771+2=3.3801$$ である。

(2) より $${\log }_{10}2400<{\log }_{10}2401<{\log }_{10}2400+{\displaystyle \frac{1}{2400}}$$ だから $$3.3801<4{\log }_{10}7<3.3801+{\displaystyle \frac{1}{2400}}$$ である。$1\mathrm{/}2400=0.000416\dots$ なので，4で割ると $$0.845025<{\log }_{10}7<0.845129\dots$$ となる。この範囲の数はすべて小数第3位までが $0.845$ である。よって，小数第4位を切り捨て小数第3位まで求めると ${\log }_{10}7=0.845$ である。