東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

正の実数 x について考える。両辺の自然対数を取ると、不等式 $x^2>2^x$ は $2\log x>x\log 2$ と同値である。そこで $h(x)=2\log x-x\log 2$ とおく。

微分すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}-\log 2,h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}<0$$ である。また $$h(2)=2\log 2-2\log 2=0,h(4)=2\log 4-4\log 2=0$$ である。 $0<x<2$ では $2\mathrm{/}x>1>\log 2$ なので $h^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。したがって h はこの範囲で増加し、$h(2)=0$ より $h(x)<0(0<x<2)$ である。 $2<x<4$ では、h は2つの零点 2,4 の間で正になる。実際、$h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ なのでグラフは上にふくらみ、2点 (2,0),(4,0) を結ぶ線分より上にある。よって $h(x)>0(2<x<4)$ である。 $4<x$ では $2\mathrm{/}x<1\mathrm{/}2<\log 2$ なので $h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって h はこの範囲で減少し、$h(4)=0$ より $h(x)<0(x>4)$ である。

以上より、求める範囲は $2<x<4$ である。

$h(x)>0$ となるのは2つの零点の間だけ。

$x=2^t$ と置き、指数の大小 $2t>2^t$ へ変換する。関数 $g(t)=2t-2^t$ の零点と増減を調べる。

$x=2^t$ とおくと、$x>0$ のもとで $t$ は実数全体を動く。不等式は$$2^{2t}>2^{2^t}$$すなわち$$g(t)=2t-2^t>0$$と同値である。$$g(1)=g(2)=0,g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-(\log 2{)}^2{2}^t<0.$$よって $g$ は上に凸で、2つの零点の間では正である。また$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2-(\log 2)2^t$$は単調減少し、零点をただ一つもつので、$g$ はその外側では再び0を越えない。したがって$$1<t<2.$$$x=2^t$ に戻して、求める範囲は$$2<x<4$$である。