東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
定義から$$x^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{e^t-e^{-t}}{2}}=y(t),y^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{e^t+e^{-t}}{2}}=x(t)$$であり、恒等式$$x(t{)}^2-y(t{)}^2=1$$が成り立つ。点 $(x(a),y(a))$ における接線は$$x(a)x-y(a)y=1$$である。これが $A(0,1)$ を通る条件は $-y(a)=1$、すなわち$${\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{2}}=-1$$である。$u=e^a>0$ とおくと $u^2+2u-1=0$ だから$$e^a=\sqrt{2}-1,a=\log (\sqrt{2}-1)$$である。

(2)
距離の2乗は$$L^2=x(t{)}^2+\{y(t)-1{\}}^2$$である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{d}{dt}}{L}^2}& {\displaystyle =2x(t)x^{\mathrm{\prime }}(t)+2\{y(t)-1\}{y}^{\mathrm{\prime }}(t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x(t)\{2y(t)-1\}\mathrm{.}}\end{array}$$$x(t)>0$ であるから、符号が変わるのは $y(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のときである。
$y(t)$ は単調増加なので、ここで $L^2$ は減少から増加に変わり、最小となる。
$v=e^b>0$ とおけば$${\displaystyle \frac{v-v^{-1}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$より $v^2-v-1=0$ である。したがって$$e^b={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}},b=\log {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$である。

(3)
(1)より $y(a)=-1$、(2)より $y(b)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。また
$x(t{)}^2-y(t{)}^2=1$ と $x(t)>0$ から$$P=(\sqrt{2},-1),Q=({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。

境界を $P$ から $Q$ まで曲線に沿い、次に $Q$ から $A$、最後に
$A$ から $P$ へ進む。曲線部分の面積への寄与は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_a^b\{x(t)y^{\mathrm{\prime }}(t)-y(t)x^{\mathrm{\prime }}(t)\}dt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_a^b\{x(t{)}^2-y(t{)}^2\}dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)\mathrm{.}}\end{array}$$線分 $QA$ の寄与は ${\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$、線分 $AP$ の寄与は
$-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ である。よって$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-a)+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{.}$$ここで $-a=\log (1+\sqrt{2})$ だから、$$S=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log (1+\sqrt{2})+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$である。

条件・検算

高校課程外の双曲線関数記号を使わず、指数関数の式だけで接線・距離・面積を導いた。