東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

与えられた値から $${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.3010+0.4771=0.7781$$ である。

自然数 $N$ が39桁であることは ${10}^{38}\leqq N<{10}^{39}$ と同値である。したがって $6^n$ が39桁である条件は ${10}^{38}\leqq 6^n<{10}^{39}$ であり，常用対数をとると $38\leqq n{\log }_{10}6<39$ となる。よって $38\leqq 0.7781n<39$ である。

これを計算すると $${\displaystyle \frac{38}{0.7781}}\leqq n<{\displaystyle \frac{39}{0.7781}}$$ であり，実際に $$0.7781\cdot 48=37.3488<38,$$ $$0.7781\cdot 49=38.1269,0.7781\cdot 50=38.9050,$$ $$0.7781\cdot 51=39.6831>39$$ である。したがって $n=49,50$ である。

次に最高位の数字を求める。$n=49$ のとき ${\log }_{10}{6}^{49}=38.1269$ であるから $$6^{49}={10}^{38}\cdot {10}^{0.1269}$$ である。ここで $$0<0.1269<{\log }_{10}2=0.3010$$ なので $1<{10}^{0.1269}<2$ である。したがって最高位の数字は $1$ である。 $n=50$ のとき ${\log }_{10}{6}^{50}=38.9050$ である。ここで $${\log }_{10}8=3{\log }_{10}2=0.9030$$ であり，$${\log }_{10}9=2{\log }_{10}3=0.9542$$ である。したがって $${\log }_{10}8<0.9050<{\log }_{10}9$$ だから $8<{10}^{0.9050}<9$ である。よって最高位の数字は $8$ である。

以上より $${\displaystyle n=49\text{ のとき最高位は }1,n=50\text{ のとき最高位は }8}$$ である。

桁数は対数の整数部分、最高位は小数部分を $\log 2,\log 8,\log 9$ と比較して決める。