東北大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
与えられた式を通分すると$${\displaystyle \frac{1}{z-i}}+{\displaystyle \frac{1}{z+i}}={\displaystyle \frac{(z+i)+(z-i)}{(z-i)(z+i)}}={\displaystyle \frac{2z}{z^2+1}}$$である。したがって $${\displaystyle \frac{2z}{z^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{w}}$$ であり、$w\mathrm{\ne }0$ だから $2wz=z^2+1$ すなわち $z^2-2wz+1=0$ である。平方完成すると $(z-w{)}^2=w^2-1$ である。

ここで $w=u+vi$ とすれば $w^2=(u^2-v^2)+2uvi$ であるから、$$(z-w{)}^2=(u^2-v^2-1)+2uvi$$ である。

(2) $u=0$ とする。このとき $w=vi$ は純虚数であり、(1) より $(z-w{)}^2=-v^2-1$ である。右辺は負の実数であるから、$z-w$ は純虚数である。実際、$(\rho +\sigma i{)}^2$ が負の実数となるには、$\rho =0$ が必要である。 $w$ も純虚数で、$z-w$ も純虚数なので、$z=w+(z-w)$ も純虚数である。したがって $z$ の実部は $x=0$ である。

(3) $w^2$ の実部が $1$ なので $u^2-v^2=1$ である。$u>0$、$v>0$ より $$v=\sqrt{u^2-1}$$ であり、特に $u>1$ である。

(1) の式はこの条件のもとで $(z-w{)}^2=2uvi$ となる。$(1+i{)}^2=2i$ だから、$$z-w=\pm \sqrt{uv}(1+i)$$ である。したがって実部を比べると $$x=u\pm \sqrt{uv}$$ である。$$v=\sqrt{u^2-1}$$ を代入して $$x=u\pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}}$$ である。

条件・検算

平方根の2候補を落とさず、$u>0,v>0,u^2-v^2=1$ から $u>1$ となる定義域も明示した。

基本式 $(z-w{)}^2=w^2-1$ までは同じに導く。(2) は $z=x+yi$ を代入して虚部の式から直接示し、(3) は右辺が正の純虚数になることから偏角を用いて平方根の2候補を求める。

(1)
通分すると$${\displaystyle \frac{2z}{z^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{w}}$$だから$$z^2-2wz+1=0,(z-w{)}^2=w^2-1.$$$w=u+vi$ を代入して$$(z-w{)}^2=(u^2-v^2-1)+2uvi$$である。

(2)
$u=0$ とし、$z=x+yi$、$w=vi$ とおく。このとき$$\{x+(y-v)i{\}}^2=-v^2-1.$$虚部を比較すると$$2x(y-v)=0.$$もし $x\mathrm{\ne }0$ なら $y=v$ であるが、実部は $x^2=-v^2-1<0$ となって矛盾する。よって $x=0$ である。

(3)
$u^2-v^2=1$、$u>0$、$v>0$ なので$$v=\sqrt{u^2-1},u>1.$$(1)より$$(z-w{)}^2=2uvi\mathrm{.}$$右辺の偏角は ${90}^{\circ }$ だから、平方根の偏角は
${45}^{\circ }$ または ${225}^{\circ }$ である。また絶対値は
$\sqrt{2uv}$ なので$$z-w=\pm \sqrt{uv}(1+i)\mathrm{.}$$実部を比較して$$x=u\pm \sqrt{uv}=u\pm \sqrt{u\sqrt{u^2-1}}$$である。