東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$p=u+vi$ とおく。4つの解に $p$ と $\bar{p}$ が含まれ、しかも異なる複素数解であるから $v\mathrm{\ne }0$ である。また $$p+2\bar{p}=(u+vi)+2(u-vi)=3u-vi$$ であり、$$2p+\bar{p}=2(u+vi)+(u-vi)=3u+vi$$ である。したがって4つの解は $u+vi,u-vi,3u+vi,3u-vi$ である。

よって方程式の左辺は $\{x^2-2ux+u^2+v^2\}\{x^2-6ux+9u^2+v^2\}$ に等しい。これを展開して係数を比較する。$x^3$ の係数から $a=-8u$ である。$a>0$ なので $u<0$ である。

次に $x^2$ の係数から $22u^2+2v^2=2b+7$ すなわち $11u^2+v^2=b+{\displaystyle \frac{7}{2}}$ を得る。また $x$ の係数から $-24u^3-8u{v}^2=2ab$ であり、$a=-8u$ を代入すると $-24u^3-8u{v}^2=-16ub$ である。$u\mathrm{\ne }0$ なので $-8u$ で割って $3u^2+v^2=2b$ を得る。

ここで $U=u^2$ とおく。上の2式から $b={\displaystyle \frac{7}{2}}-8U$ であり、さらに $v^2=2b-3U=7-19U$ である。

最後に定数項を比較する。定数項は $$(u^2+v^2)(9u^2+v^2)=9u^4+10u^2{v}^2+v^4$$ であり、もとの方程式の定数項は $5b^2$ である。したがって $$9U^2+10U(7-19U)+(7-19U{)}^2=5{({\displaystyle \frac{7}{2}}-8U)}^2$$ である。整理すると $(4U-1)(20U-7)=0$ となる。よって $$U={\displaystyle \frac{1}{4}}\text{または}U={\displaystyle \frac{7}{20}}$$ である。 $$U={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ のとき、$u<0$ より $$u=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり、$a=-8u=4$ である。また $$b={\displaystyle \frac{7}{2}}-8\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である。 $$U={\displaystyle \frac{7}{20}}$$ のとき、$u<0$ より $$u=-\sqrt{{\displaystyle \frac{7}{20}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{35}}{10}}$$ である。したがって $$a=-8u={\displaystyle \frac{4\sqrt{35}}{5}}$$ であり、$$b={\displaystyle \frac{7}{2}}-8\cdot {\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$$ である。

どちらの場合も $b>0$ であり、さらに $v^2=7-19U$ はそれぞれ ${\displaystyle \frac{9}{4}}$、${\displaystyle \frac{7}{20}}$ で正である。よって $v\mathrm{\ne }0$ であり、4つの解は相異なる。したがって求める値は$$(a,b)=(4,{\displaystyle \frac{3}{2}}),({\displaystyle \frac{4\sqrt{35}}{5}},{\displaystyle \frac{7}{10}})$$である。

条件・検算

2候補はいずれも $b>0$、$v^2>0$ を満たす。さらに $u\mathrm{\ne }3u$ なので4根は相異なり、問題の仮定へ戻した必要十分性が確認できる。