東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

(1) $$-{180}^{\circ }<\theta <{180}^{\circ }$$ なので $\cos (\theta \mathrm{/}2)>0$ であり、$1+z\mathrm{\ne }0$ である。また$$1+z=1+\cos \theta +i\sin \theta =2\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}(\cos {\displaystyle \frac{\theta }{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}})$$である。したがって$$(1+z{)}^2=4{\cos }^2{\displaystyle \frac{\theta }{2}}(\cos \theta +i\sin \theta )=2(1+\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )$$となる。よって $$w={\displaystyle \frac{1}{(1+z{)}^2}}={\displaystyle \frac{\cos \theta -i\sin \theta }{2(1+\cos \theta )}}$$ であるから、実部は $$x={\displaystyle \frac{\cos \theta }{2(1+\cos \theta )}}$$ である。

(2)
上の式より $$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\cos \theta -i\sin \theta \mathrm{\mid }}{2(1+\cos \theta )}}$$ である。ここで $$\mathrm{\mid }\cos \theta -i\sin \theta \mathrm{\mid }=1$$ であり、指定範囲では $1+\cos \theta >0$ だから $$\sqrt{x^2+y^2}=\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2(1+\cos \theta )}}$$ である。

(3)
(1)で得た式から虚部は $$y=-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2(1+\cos \theta )}}$$ である。したがって$$y^2={\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{4(1+\cos \theta {)}^2}}={\displaystyle \frac{1-{\cos }^2\theta }{4(1+\cos \theta {)}^2}}={\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{4(1+\cos \theta )}}$$となる。一方、$${\displaystyle \frac{1}{4}}-y^2={\displaystyle \frac{1+\cos \theta }{4(1+\cos \theta )}}-{\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{4(1+\cos \theta )}}={\displaystyle \frac{\cos \theta }{2(1+\cos \theta )}}$$である。これは(1)の $x$ に等しいから、$x={\displaystyle \frac{1}{4}}-y^2$ である。

条件・検算

角度範囲から $1+z\mathrm{\ne }0$ と分母の正値を確認し、消去後の放物線全体が実現することも確認した。

$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ より $\bar{z}=1\mathrm{/}z$ であることを使い、$w$ を共役を含む分数へ有理化する。実部・絶対値を $\cos \theta$ で求め、最後に ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ で $\theta$ を消去する。

(1)
$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }=1$ なので $\bar{z}={\displaystyle \frac{1}{z}}$ である。また$$\mathrm{\mid }1+z{\mathrm{\mid }}^2=(1+z)(1+\bar{z})=2(1+\cos \theta )\mathrm{.}$$したがって$$w={\displaystyle \frac{(1+\bar{z}{)}^2}{\mathrm{\mid }1+z{\mathrm{\mid }}^4}}\mathrm{.}$$分子の実部は$$1+2\cos \theta +\cos 2\theta =2\cos \theta (1+\cos \theta )$$で、分母は $4(1+\cos \theta {)}^2$ である。よって$$x={\displaystyle \frac{\cos \theta }{2(1+\cos \theta )}}\mathrm{.}$$(2)$$\sqrt{x^2+y^2}=\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }1+z{\mathrm{\mid }}^2}}={\displaystyle \frac{1}{2(1+\cos \theta )}}\mathrm{.}$$(3)
同じ表示から$$y=-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{2(1+\cos \theta )}}\mathrm{.}$$よって$$y^2={\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{4(1+\cos \theta )}}\mathrm{.}$$これと(1)を比較すると$$x={\displaystyle \frac{1}{4}}-y^2$$である。逆に任意の実数 $y$ に対し$$\tan {\displaystyle \frac{\theta }{2}}=-2y$$ と取れるので、この放物線上の全点が指定範囲の
$\theta$ から得られる。