東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
与えられた範囲では $\cos \theta >0$ であり、また $$1+\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta$$ である。放物線を $$y=x^2-{\displaystyle \frac{2}{\cos \theta }}x+{\displaystyle \frac{2+\sin 2\theta }{1+\cos 2\theta }}$$ と見ると、頂点の $x$ 座標は $$x={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$$ である。頂点の $y$ 座標は、平方完成により$${\displaystyle \frac{2+\sin 2\theta }{1+\cos 2\theta }}-{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}={\displaystyle \frac{2+2\sin \theta \cos \theta }{2{\cos }^2\theta }}-{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\theta }}={\displaystyle \frac{\sin \theta }{\cos \theta }}=\tan \theta$$である。したがって $$P(\theta )=(\sec \theta ,\tan \theta )$$ である。

ここで $x=\sec \theta$, $y=\tan \theta$ とおくと $$x^2-y^2={\sec }^2\theta -{\tan }^2\theta =1$$ である。また $$-{90}^{\circ }<\theta <{90}^{\circ }$$ では $\cos \theta >0$ だから $x=\sec \theta >0$ である。逆に、$x^2-y^2=1$, $x>0$ を満たす点は $x\geqq 1$ で、$y$ に対して $\tan \theta =y$ となる $\theta$ がこの範囲にただ1つ存在し、そのとき $$x=\sqrt{1+y^2}=\sec \theta$$ となる。よって軌跡は $x^2-y^2=1,x>0$ である。

(2) $R(\theta )$ は $y$ 軸との交点なので、$x=0$ を代入して$$R(\theta )=(0,{\displaystyle \frac{2+\sin 2\theta }{1+\cos 2\theta }})=(0,{\sec }^2\theta +\tan \theta )$$である。したがって $$P(\theta )=(\sec \theta ,\tan \theta )$$ との差を取ると、横方向の差は $\sec \theta$、縦方向の差は ${\sec }^2\theta$ である。よって $$P{R}^2={\sec }^2\theta +{\sec }^4\theta$$ である。 $u={\sec }^2\theta$ とおくと、$\cos \theta >0$ より $u\geqq 1$ であり、$P{R}^2=u+u^2$ である。$u\geqq 1$ で $u+u^2$ は増加するので、最小は $u=1$、すなわち $\theta =0$ のときである。このとき $P{R}_{\min }^{}=2$ であるから、求める最小値は $\sqrt{2}$ である。

条件・検算

軌跡の逆向きの存在を確認し、距離の最小値が $\theta =0$ で実際に達成されることを示した。