東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

(1) $z=r{e}^{i\theta }$ とおく。ただし $r=\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }\geqq 0$ である。右辺 $3\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+a=3r+a$ は実数であるから、左辺 $z^3$ も実数でなければならない。 $r>0$ のとき、$z^3=r^3{e}^{3i\theta }$ が実数である条件は $3\theta \equiv 0\text{または}\pi (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$ である。したがって$$\theta =0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi ,{\displaystyle \frac{4\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$$の6方向に限られる。$r=0$ の点、すなわち原点は $a=0$ のとき実際に式を満たす。

逆に、これら6本の半直線上にある任意の点では $z^3$ は実数であり、$a=z^3-3\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ と定めれば $a$ は実数で、与えられた式を満たす。よって、$a$ が実数全体を動くときの $z$ の取り得る値は、原点から偏角 $0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\pi ,{\displaystyle \frac{4\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$ の方向に伸びる6本の半直線全体である。

(2)
6本の半直線を、$z^3=r^3$ となる3本と、$z^3=-r^3$ となる3本に分ける。

まず $z^3=r^3$ となる半直線上では、方程式は $r^3=3r+a$ すなわち $a=r^3-3r$ である。$f(r)=r^3-3r$ とおくと、$r\geqq 0$ で $f^{\mathrm{\prime }}(r)=3r^2-3$ であるから、$0<r<1$ で減少し、$r>1$ で増加する。また $$f(0)=0,f(1)=-2,f(\sqrt{3})=0$$ である。したがって $-2<a<0$ に対して、$a=f(r)$ は $0<r<1$ と $1<r<\sqrt{3}$ に1つずつ、合計2個の正の解をもつ。この種類の半直線は3本あるので、ここから $3\cdot 2=6$ 個の解が得られる。

次に $z^3=-r^3$ となる半直線上では、方程式は $-r^3=3r+a$ すなわち $a=-r^3-3r$ である。$g(r)=-r^3-3r$ とおくと $g^{\mathrm{\prime }}(r)=-3r^2-3<0$ なので、$r\geqq 0$ で単調に減少する。また $g(0)=0$、$r\to \mathrm{\infty }$ で $g(r)\to -\mathrm{\infty }$ である。よって $-2<a<0$ に対して正の解 $r$ は1個である。この種類の半直線も3本あるので、ここから $3\cdot 1=3$ 個の解が得られる。 $-2<a<0$ では $a\mathrm{\ne }0$ なので $r=0$ は解にならず、6本の半直線の原点で重複して数える心配はない。したがって解の個数は $6+3=9$ である。

条件・検算

右辺が実数なので $z^3\in \mathbb{R}$ と気づき、6本の半直線に分けるのが核心である。$-2<a<0$ では $r^3-3r=a$ が正根を2個、$-r^3-3r=a$ が正根を1個もつため、3方向ずつで合計9個となる。$a\mathrm{\ne }0$ なので原点の重複はない。