東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1) $u=\sin x+\cos x$ とおく。このとき $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ であり、$u^2=1+2\sin x\cos x$ だから $$\sin x\cos x={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}& {\displaystyle =(\sin x+\cos x)({\sin }^{2}x-\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-\sin x\cos x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-{\displaystyle \frac{u^2-1}{2}})={\displaystyle \frac{u(3-u^2)}{2}}}\end{array}$$である。

したがって $$1-({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x)=1-{\displaystyle \frac{u(3-u^2)}{2}}={\displaystyle \frac{(u-1{)}^2(u+2)}{2}}$$ である。$u\geqq -\sqrt{2}$ なので $u+2>0$ であり、右辺は 0 以上である。よって ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\leqq 1$ が示された。

(2)

(1) より ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\leqq 1$ であり、また $\sin x\leqq 1$ である。したがって ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+\sin x\leqq 2$ である。等号が成り立つには、両方の不等式で同時に等号が成り立つ必要がある。 $\sin x=1$ となるのは、$0\leqq x<2\pi$ で $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ だけである。このとき $\cos x=0$ なので ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=1$ も成り立つ。したがって求める解は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

$u=\sin x+\cos x$ とおくと、三乗和の最大値1と等号条件が読める。