東北大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $$f(x)=x\sin {\displaystyle \frac{\pi }{x}}$$ を微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\sin {\displaystyle \frac{\pi }{x}}+x\cos {\displaystyle \frac{\pi }{x}}(-{\displaystyle \frac{\pi }{x^2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\sin {\displaystyle \frac{\pi }{x}}-{\displaystyle \frac{\pi }{x}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{x}}}\end{array}$$である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(2)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=1$$ である。

また，$x>2$ のとき $$0<{\displaystyle \frac{\pi }{x}}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ なので $$\cos {\displaystyle \frac{\pi }{x}}>0$$ である。よって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{x}}-{\displaystyle \frac{\pi }{x}}\cos {\displaystyle \frac{\pi }{x}}<\sin {\displaystyle \frac{\pi }{x}}<1$$となり，$x>2$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<1$ が示された。

(2)

自然数 $k$ に対して $x=1\mathrm{/}k$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{1}{k}}\right)}& {\displaystyle =\sin k\pi -k\pi \cos k\pi }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =0-k\pi (-1{)}^k}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle (-1{)}^{k+1}k\pi }}\end{array}$$である。

(3) $$u={\displaystyle \frac{\pi }{x}}$$ とおく。$x>0$ で $u>0$ であり，$x$ が大きい順に並ぶことは $u$ が小さい順に並ぶことに対応する。方程式 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$ は $\sin u-u\cos u=1$ である。 $g(u)=\sin u-u\cos u$ とおくと $$g^{\mathrm{\prime }}(u)=\cos u-(\cos u-u\sin u)=u\sin u$$ である。区間 $((n-1)\pi ,n\pi )$ では $\sin u$ の符号が一定なので，$g$ は単調である。

端点の値は $$g(k\pi )=\sin k\pi -k\pi \cos k\pi =(-1{)}^{k+1}k\pi$$ である。$n$ が偶数のとき $$g((n-1)\pi )=(n-1)\pi >1,g(n\pi )=-n\pi <1$$ であり，この区間で $g$ は減少する。$n$ が奇数のとき $$g((n-1)\pi )=-(n-1)\pi <1,g(n\pi )=n\pi >1$$ であり，この区間で $g$ は増加する。したがって，いずれの場合も区間 $((n-1)\pi ,n\pi )$ に $g(u)=1$ の解がただ1つ存在する。

これを小さい方から $u_1,u_2,u_3,\dots$ とすると，対応する $x_n$ は $$x_n={\displaystyle \frac{\pi }{u_n}}$$ であり，$u_n\in ((n-1)\pi ,n\pi )$ だから $${\displaystyle \frac{1}{n}}<x_n<{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$$ である。これは $n\geqq 2$ で成り立つ。

(4)

(3) より $0<x_n<{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$ であるから $x_n\to 0$ である。また $$\mathrm{\mid }f(x_n)\mathrm{\mid }=\mid x_n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{x_n}}\mid \leqq x_n$$ である。右辺が0に近づくので，はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x_n)=0$$である。

$x$ の大小が $u$ では逆転することに注意して、各半周期の一意な解を戻す。