東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

模式図（$a>0$）．破線の位置で大きい方の曲線が切り替わる．

(1)

2つの関数の差を調べると $$\sin \theta -\sin (\theta -2a)=2\cos (\theta -a)\sin a$$ である。$0\leqq a\leqq \pi \mathrm{/}2$なので$\sin a\geqq 0$である。したがって，$a=0$では2つは等しく，$a>0$では大小は$\cos (\theta -a)$の符号で決まる。

$0\leqq \theta \leqq \pi$において，$\cos (\theta -a)\geqq 0$ となるのは $$0\leqq \theta \leqq a+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。よって$$f(\theta )=\{\begin{array}{ll}\sin \theta & (0\leqq \theta \leqq a+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}),\\ \sin (\theta -2a)& (a+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq \theta \leqq \pi )\end{array}$$である。したがって$$I={\int }_0^{a+\pi \mathrm{/}2}\sin \theta d\theta +{\int }_{a+\pi \mathrm{/}2}^{\pi }\sin (\theta -2a)d\theta$$である。

計算すると$${\int }_0^{a+\pi \mathrm{/}2}\sin \theta d\theta =1-\cos (a+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=1+\sin a$$であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{a+\pi \mathrm{/}2}^{\pi }\sin (\theta -2a)d\theta }& {\displaystyle ={[-\cos (\theta -2a)]}_{a+\pi \mathrm{/}2}^{\pi }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\cos (\pi -2a)+\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos 2a+\sin a}\end{array}$$である。よって $$I=1+2\sin a+\cos 2a=2+2\sin a-2{\sin }^{2}a$$ である。したがって $I=2+2\sin a-2{\sin }^{2}a$ である。

(2)

$s=\sin a$とおく。$0\leqq a\leqq \pi \mathrm{/}2$より $0\leqq s\leqq 1$ であり，(1)の結果は $I=2+2s-2s^2$ となる。平方完成すると $$I={\displaystyle \frac{5}{2}}-2{(s-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2$$ である。したがって最大となるのは $s={\displaystyle \frac{1}{2}}$ すなわち $$a={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ のときであり，最大値は ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。

2数の大きい方を $\max (u,v)=(u+v+\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid })\mathrm{/}2$ と表す．絶対値の符号が変わる位置だけで積分を分ければ，同じ $I(a)$ が得られる．

(1)
2数 $u,v$ の大きい方は$$\max (u,v)={\displaystyle \frac{u+v+\mathrm{\mid }u-v\mathrm{\mid }}{2}}$$だから，$$f(\theta )={\displaystyle \frac{\sin \theta +\sin (\theta -2a)+\mathrm{\mid }\sin \theta -\sin (\theta -2a)\mathrm{\mid }}{2}}\mathrm{.}$$ここで$$\sin \theta -\sin (\theta -2a)=2\sin a\cos (\theta -a)\mathrm{.}$$$0\leqq a\leqq \pi \mathrm{/}2$ なので，$[0,\pi ]$ で絶対値の符号が変わるのは$$\theta =a+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }\{\sin \theta +\sin (\theta -2a)\}d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\sin a\{{\int }_0^{a+\pi \mathrm{/}2}\cos (\theta -a)d\theta -{\int }_{a+\pi \mathrm{/}2}^{\pi }\cos (\theta -a)d\theta \}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+2\sin a-2{\sin }^{2}a\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$s=\sin a(0\leqq s\leqq 1)$$ とおくと$$I=2+2s-2s^2={\displaystyle \frac{5}{2}}-2{(s-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\mathrm{.}$$よって $s=1\mathrm{/}2$，すなわち $a=\pi \mathrm{/}6$ のとき最大であり，$$\max I={\displaystyle \frac{5}{2}}$$である．