東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

$$\sin ms=\sin mt,\cos ms=\cos mt$$ が成り立つ。正弦と余弦がともに等しい2つの角は、$2\pi$ の整数倍だけ異なる。したがって、ある整数 $k$ が存在して $ms-mt=2k\pi$ である。すなわち $m(s-t)=2k\pi$ である。

同様に $$\sin ns=\sin nt,\cos ns=\cos nt$$ から、ある整数 $l$ が存在して $n(s-t)=2l\pi$ である。

上の2式から $$s-t={\displaystyle \frac{2k\pi }{m}}={\displaystyle \frac{2l\pi }{n}}$$ である。よって $kn=lm$ である。ここで $m$ と $n$ は互いに素であるから、$m$ は $k$ を割り切り、$n$ は $l$ を割り切る。したがって、ある整数 $q$ を用いて $k=mq,l=nq$ と書ける。

これを $m(s-t)=2k\pi$ に代入すると $m(s-t)=2mq\pi$ である。$m$ は自然数なので $m\mathrm{\ne }0$ であり、両辺を $m$ で割って $s-t=2q\pi$ を得る。

ところが仮定より $\mathrm{\mid }s-t\mathrm{\mid }<2\pi$ である。$s-t$ が $2\pi$ の整数倍で、かつ絶対値が $2\pi$ より小さいためには $q=0$ でなければならない。したがって $s-t=0$ であり、$s=t$ である。

条件・検算

正弦だけ、または余弦だけの一致では角の差を一意に定められない。両方の一致、互いに素、差の絶対値という3条件を順に使う。

正弦・余弦の一致から $m(s-t)$ と $n(s-t)$ がともに $2\pi$ の整数倍であることを得る。互いに素な $m,n$ にベズーの等式を用い、$s-t$ 自体が $2\pi$ の整数倍であることを導く。

正弦と余弦がともに等しいので、ある整数 $k,l$ が存在して$$m(s-t)=2k\pi ,n(s-t)=2l\pi$$となる。$m,n$ は互いに素だから、ある整数 $u,v$ が存在して$$um+vn=1$$となる。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s-t}& {\displaystyle =(um+vn)(s-t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u\{m(s-t)\}+v\{n(s-t)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(uk+vl)\pi \mathrm{.}}\end{array}$$よって $s-t$ は $2\pi$ の整数倍である。一方$$\mathrm{\mid }s-t\mathrm{\mid }<2\pi$$だから、その整数倍は0だけである。したがって$$s=t\mathrm{.}$$この方法では $m\mid k$、$n\mid l$ を個別に示す必要がない。