東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第6問

模式図（$a={\displaystyle \frac{5}{2}}$）．最初の交点までは $\sin ax>\sin x$ である．

(1)

交点では $\sin ax=\sin x$ である。したがって $ax=x+2k\pi$ または $ax=\pi -x+2k\pi$ である。正の解はそれぞれ $$x={\displaystyle \frac{2k\pi }{a-1}}(k=1,2,\dots )$$ および $$x={\displaystyle \frac{(2k+1)\pi }{a+1}}(k=0,1,2,\dots )$$ である。最小候補は ${\displaystyle \frac{2\pi }{a-1}}\text{と}{\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}$ である。$a>1$より $${\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}<{\displaystyle \frac{2\pi }{a-1}}$$ なので，最初の交点の$x$座標は $$f(a)={\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}$$ である。

(2)

$g(x)=\sin ax-\sin x$とおくと，$g(0)=0$であり，$g^{\mathrm{\prime }}(0)=a-1>0$である。したがって$0$のすぐ右では$\sin ax>\sin x$である。最初の交点までは上下関係は変わらないため，囲まれた部分の面積は$$S(a)={\int }_0^{\pi \mathrm{/}(a+1)}(\sin ax-\sin x)dx$$である。$h=\pi \mathrm{/}(a+1)$とおくと $$ah={\displaystyle \frac{a\pi }{a+1}}=\pi -h$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{\cos ax}{a}}+\cos x]}_0^h}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{\cos ah}{a}}+\cos h+{\displaystyle \frac{1}{a}}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\cos h}{a}}+\cos h+{\displaystyle \frac{1}{a}}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a+1)\cos h-(a-1)}{a}}}\end{array}$$である。よって $$S(a)={\displaystyle \frac{(a+1)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}-(a-1)}{a}}$$ である。

(3)

(2) より $$aS(a)=(a+1)\cos {\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}-(a-1)$$ である。これを $$aS(a)=2-(a+1)(1-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{a+1}})$$ と書く。

$u=\pi \mathrm{/}(a+1)$とおくと，$a\to \mathrm{\infty }$のとき$u\to 0$である。また $$1-\cos u=2{\sin }^2{\displaystyle \frac{u}{2}}\leqq 2{\left({\displaystyle \frac{u}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{u^2}{2}}$$ だから $$0\leqq (a+1)(1-\cos u)\leqq (a+1){\displaystyle \frac{u^2}{2}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{2(a+1)}}\to 0$$ である。したがって $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }aS(a)=2$$ である。

$\sin ax-\sin x$ を積に直すと，2種類の零点が同時に見える．各因子の最小の正の零点を比べるだけで $f(a)$ が決まる．

積和公式により$$\sin ax-\sin x=2\cos {\displaystyle \frac{(a+1)x}{2}}\sin {\displaystyle \frac{(a-1)x}{2}}\mathrm{.}$$したがって正の交点候補は$$\cos {\displaystyle \frac{(a+1)x}{2}}=0\text{または}\sin {\displaystyle \frac{(a-1)x}{2}}=0$$から生じる．それぞれの最小の正の解は$$x={\displaystyle \frac{\pi }{a+1}},x={\displaystyle \frac{2\pi }{a-1}}\mathrm{.}$$$a>1$ では$${\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}<{\displaystyle \frac{2\pi }{a-1}}$$だから，最初の交点の $x$ 座標は$$f(a)={\displaystyle \frac{\pi }{a+1}}$$である．また $0<x<f(a)$ では2つの因子がともに正なので，$\sin ax>\sin x$ も同時に確認できる．