東北大 2007年度文系（後期）数学第4問｜問題・解答・解説

東北大学 2007年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第4問

あるグループの各人が独立に一問のクイズに答え、
グループの人数の半数以上が正解すればグループは合格とする。
ただし、一人一人の正解する確率は $p$ で、 $0 ≦ p ≦ 1$ とする。
グループの人数が $2 n$ であるとき、グループが合格する確率を $a_{n} (p)$ とする。

(1) $a_{2} (p)$ は文字 $p$ についての多項式として $p^{2}$ で割り切れることを示せ。

(2) $a_{2} (p) ≧ a_{1} (p)$ となる $p$ の範囲を求めよ。

難易度5/ 10計算量4/ 10目安15分

確率　数え上げ、式変形、範囲評価

方針

$a_{n} (p)$ は 2n 人中 n 人以上が正解する二項分布の確率である。 $a_{2} (p)$ は4人中2人以上の確率として展開すれば、各項に $p^{2}$ が含まれることがすぐに分かる。(2)では $a_{1} (p)$ と $a_{2} (p)$ を多項式として明示し、差 $a_{2} (p) - a_{1} (p)$ を因数分解する。 $0 ≦ p ≦ 1$ で p と $(p - 1)^{2}$ の符号を確認し、3p-2 の符号だけで範囲を決める。

解答

(1)

4人中2人以上が正解すれば合格である。したがって $a_{2} (p) =_{4} C_{2} p^{2} (1 - p)^{2} +_{4} C_{3} p^{3} (1 - p) + p^{4}$ である。右辺の各項は $p^{2}$ を因数にもつので、 $a_{2} (p)$ は $p^{2}$ で割り切れる。

(2)

2人のグループでは、1人以上が正解すれば合格であるから $a_{1} (p) = 2 p (1 - p) + p^{2} = 2 p - p^{2}$ である。また(1)の式を整理すると $a_{2} (p) = 6 p^{2} (1 - p)^{2} + 4 p^{3} (1 - p) + p^{4} = p^{2} (3 p^{2} - 8 p + 6)$ である。したがって $\begin{aligned} a_{2} (p) - a_{1} (p) & = p^{2} (3 p^{2} - 8 p + 6) - (2 p - p^{2}) \\ = p (3 p^{3} - 8 p^{2} + 7 p - 2) \\ = p (p - 1)^{2} (3 p - 2) \end{aligned}$ である。 $0 ≦ p ≦ 1$ では $p ≧ 0$ 、 $(p - 1)^{2} ≧ 0$ であるから、符号は 3p-2 によって決まる。ただし $p = 0$ のとき差は 0 である。よって $a_{2} (p) ≧ a_{1} (p)$ となる範囲は $p = 0, \frac{2}{3} ≦ p ≦ 1$ である。

$a_{2} - a_{1} = p (p - 1)^{2} (3 p - 2)$ 。 $p = 0$ でも等号になる。

総評

難度5、計算量4。二項分布の確率を正確に多項式化し、差を因数分解して符号を読む問題である。半数以上なので、4人なら2人以上、2人なら1人以上である点をまず確認する。(2)では $p = 0$ が孤立して等号成立するため、単に $p ≧ 2 / 3$ とだけ書かないことが注意点である。計算は短いが、因数分解の符号判定を丁寧に書きたい。15分程度が目安である。

出典: 東北大学 2007年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

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