東北大学 2007年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $u=\sin x+\cos x$ とおく。このとき $$\sin x\cos x={\displaystyle \frac{u^2-1}{2}}$$ であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x}& {\displaystyle =(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-{\displaystyle \frac{u^2-1}{2}})={\displaystyle \frac{u(3-u^2)}{2}}}\end{array}$$である。

したがって ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x=1$ は $${\displaystyle \frac{u(3-u^2)}{2}}=1$$ すなわち $u^3-3u+2=0$ である。因数分解して $(u-1{)}^2(u+2)=0$ となる。ここで $$-\sqrt{2}\leqq u\leqq \sqrt{2}$$ だから $u=-2$ は不適で、$u=1$ である。 $u=1$ のとき $2\sin x\cos x=u^2-1=0$ である。したがって $\sin x=0$ または $\cos x=0$ で、さらに $\sin x+\cos x=1$ を満たすものを $0\leqq x<2\pi$ で選ぶと $$x=0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

(2)

(1) の途中計算から $$1-({\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x)={\displaystyle \frac{(u-1{)}^2(u+2)}{2}}\geqq 0$$ である。よって ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x\leqq 1$ である。また常に $\sin x\leqq 1$ である。したがって和が2になるには、この2つの不等式でともに等号が成り立つ必要がある。 $\sin x=1$ となるのは $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ であり、このとき $\cos x=0$ なので三乗和も 1 になる。したがって求める解は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。