東北大 2008年度文系（後期）数学第1問｜問題・解答・解説

方針

絶対値の中身の符号が変わる点は $x = a$ と $x = 1$ である。 $0 ≦ a ≦ 1$ なので， $x < a$ ， $a ≦ x < 1$ ， $1 ≦ x$ の3区間に分けて絶対値を外し，それぞれで直線 $y = x$ との交点を求める。各候補がその区間条件を本当に満たすかを調べ，境界で同じ点を重複して数えないように整理する。

解答

$0 ≦ a ≦ 1$ であるから， $x = a$ と $x = 1$ を境に場合分けする。

まず $x < a$ のとき， $∣ x - a ∣ + ∣ x - 1 ∣ = (a - x) + (1 - x) = a + 1 - 2 x$ である。これが $y = x$ と交わるには $a + 1 - 2 x = x$ であればよいので $x = \frac{a + 1}{3}$ である。この点が $x < a$ に入る条件は $\frac{a + 1}{3} < a$ すなわち $a > \frac{1}{2}$ である。

次に $a ≦ x < 1$ のとき， $∣ x - a ∣ + ∣ x - 1 ∣ = (x - a) + (1 - x) = 1 - a$ である。したがって交点候補は $x = 1 - a$ である。これが $a ≦ x < 1$ に入る条件は $a ≦ 1 - a < 1$ である。左の不等式から $a ≦ 1 / 2$ ，右の不等式から $a > 0$ を得るので $0 < a ≦ \frac{1}{2}$ のとき有効である。

最後に $1 ≦ x$ のとき， $∣ x - a ∣ + ∣ x - 1 ∣ = (x - a) + (x - 1) = 2 x - a - 1$ である。これが $x$ に等しいので $2 x - a - 1 = x$ より $x = a + 1$ である。 $0 ≦ a ≦ 1$ では $a + 1 ≧ 1$ なので，これは常に有効である。

以上をまとめると， $a = 0$ のときは第2区間の候補と第3区間の候補が同じ $x = 1$ になり，交点は $(1, 1)$ の1個である。 $0 < a ≦ 1 / 2$ のときは $(1 - a, 1 - a), (1 + a, 1 + a)$ の2個である。 $1 / 2 < a ≦ 1$ のときは $(\frac{a + 1}{3}, \frac{a + 1}{3}), (1 + a, 1 + a)$ の2個である。

図は $a > 1 / 2$ の例。折れ点 $x = a, 1$ で式を分け、各交点が対応区間に入るかを確認する。

総評

難度は10段階中3、計算量は10段階中3。試験場での目安は12分で、絶対値の基本的な場合分けを正確に行う問題である。採点点は、境界を $x = a$ ， $x = 1$ として3区間に分けること、各区間で得た交点候補が区間条件を満たすか確認すること、 $a = 0$ で重複する点を1個と数えることにある。計算は軽いが， $a = 1 / 2$ の境界処理を雑にすると個数を誤りやすい。

出典: 東北大学 2008年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

方針

解答

総評

東北大学 2008年度後期日程第2次学力試験文系（後期）数学第1問