東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

点 $(y,f(y))$ と $(a,f(a))$ を結ぶ直線において，$x$ に対応する値は ${\displaystyle \frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}}$ である。したがって，求める条件は $$f(x)-{\displaystyle \frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}}>0$$ が，すべての $y<x<a$ に対して成り立つことである。

$f(t)=t^3+3t^2-9t$ を代入して整理する。分母 $a-y$ は $y<a$ より正である。分子を計算すると $(a-y)f(x)-(x-y)f(a)-(a-x)f(y)$ であり，これは因数分解して $(a-y)(x-a)(x-y)(a+x+y+3)$ となる。よって $$f(x)-{\displaystyle \frac{(x-y)f(a)+(a-x)f(y)}{a-y}}=(x-a)(x-y)(a+x+y+3)$$ である。

ここで $y<x<a$ だから $x-a<0,x-y>0$ である。したがって $(x-a)(x-y)<0$ である。差が常に正となるためには $a+x+y+3<0$ が常に成り立つことが必要十分である。

まず必要性を調べる。$x,y$ をともに $a$ に近づけると，$a+x+y+3$ は $3a+3$ にいくらでも近づく。もし $a>-1$ なら $3a+3>0$ であるから，$x,y$ を十分 $a$ に近く取ることで $a+x+y+3>0$ となり，不等式は成り立たない。よって必要条件は $a\leqq -1$ である。

逆に $a\leqq -1$ とする。$y<x<a$ より $x<a$，$y<a$ なので $$a+x+y+3<a+a+a+3=3a+3\leqq 0.$$ 実際には $x<a$，$y<a$ であるから $a+x+y+3<0$ である。したがって差は常に正となり，条件を満たす。

以上より求める範囲は $a\leqq -1$ である。

3次関数のグラフが弦より上にある条件を、区間 $(-\mathrm{\infty },a)$ における上に凸性へ読み替える。$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6(t+1)$ の符号から十分性を示し、$a>-1$ では $a$ の直前に下に凸な小区間を取って必要性を示す。

関数$$f(t)=t^3+3t^2-9t$$について$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6(t+1)$$である。

$a\leqq -1$ とする。任意の $y<x<a$ に対して $t<a\leqq -1$ だから $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)<0$ である。したがって $f$ は区間 $[y,a]$ で上に凸であり、内点 $x$ におけるグラフは、$(y,f(y))$ と $(a,f(a))$ を結ぶ弦より厳密に上にある。よって問題の不等式はすべての $y<x<a$ に対して成り立つ。

逆に $a>-1$ とする。このとき$$\max (-1,a-\epsilon )<y<x<a$$となる $x,y$ を、十分小さい正数 $\epsilon$ を用いて選べる。この区間では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)>0$ であるから $f$ は下に凸であり、内点のグラフは弦より下になる。したがって問題の厳密不等式に反する。

以上より求める範囲は$$a\leqq -1$$である。