東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $$f(x)=\frac{x^2+2}{x^2-2x+3}$$ である。分母は $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ なので、すべての実数で定義される。微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x(x^2-2x+3)-(x^2+2)(2x-2)}{(x^2-2x+3{)}^2}$$ であり、分子を整理して $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2(x-2)(x+1)}{(x^2-2x+3{)}^2}$$ を得る。 $x\geqq 0$ では、$0\leqq x<2$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$、$x>2$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $x=2$ で最大値をとる。値は $$f(0)=\frac{2}{3},f(2)=2,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=1$$ である。よって値域は $\frac{2}{3}\leqq f(x)\leqq 2$ である。

(2) $f(x)=q\mathrm{/}p$ は既約分数で、$q\leqq 3$ である。また(1)より $$\frac{2}{3}\leqq \frac{q}{p}\leqq 2$$ である。 $q=1$ のとき、候補は $1$ だけである。$q=2$ のとき、既約で範囲に入る候補は $2,\frac{2}{3}$ である。$q=3$ のとき、候補は $\frac{3}{2},\frac{3}{4}$ である。したがって調べるべき値は $1,2,\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{3}{4}$ である。

それぞれ方程式を解く。$f(x)=1$ では $x^2+2=x^2-2x+3$ より $x=\frac{1}{2}$ である。$f(x)=2$ では $x^2+2=2(x^2-2x+3)$ より $(x-2{)}^2=0$ なので $x=2$ である。$f(x)=2\mathrm{/}3$ では $3(x^2+2)=2(x^2-2x+3)$ より $x(x+4)=0$ となり、正の解はない。 $f(x)=3\mathrm{/}2$ では $2(x^2+2)=3(x^2-2x+3)$ より $x^2-6x+5=0$ であるから $x=1,5$ である。$f(x)=3\mathrm{/}4$ では $4(x^2+2)=3(x^2-2x+3)$ より $x^2+6x-1=0$ であり、正の解は $-3+\sqrt{10}$ だが、これは有理数ではないので除く。

以上より $$x=\frac{1}{2},1,2,5$$ である。

$k=f(x)$ と置いて $x$ の2次方程式へ変形する。判別式だけでは負の解も含むため、解の和と積を用いて $x\geqq 0$ の解が存在する範囲を絞る。(2)は得た値域と既約条件から分子3以下の候補を列挙する。

(1)
$k=f(x)$ とおくと$$k(x^2-2x+3)=x^2+2,$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& (k-1)x^2-2kx+3k-2=0& & \text{(*)}\end{array}$$を得る。実数解をもつ条件は$$\frac{D}{4}=k^2-(k-1)(3k-2)=-(2k-1)(k-2)\geqq 0$$であるから、まず$$\frac{1}{2}\leqq k\leqq 2$$である。

$1\mathrm{/}2\leqq k<1$ では、$(\ast )$ の解の和と積は$$\frac{2k}{k-1}<0,\frac{3k-2}{k-1}$$である。$k<2\mathrm{/}3$ なら積が正なので2解はともに負であり、$k=2\mathrm{/}3$ では
非負の解は $x=0$ である。$2\mathrm{/}3<k<1$ では積が負なので正の解を1つもつ。
$k=1$ では $x=1\mathrm{/}2$ を得る。また $1<k\leqq 2$ では和・積がともに正で、
実数解は正である。
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したがって$$\frac{2}{3}\leqq f(x)\leqq 2.$$(2)
$f(x)=q\mathrm{/}p$ は既約で、$q\leqq 3$ かつ$$\frac{2}{3}\leqq \frac{q}{p}\leqq 2$$だから、候補は$$1,2,\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{3}{4}$$に限られる。各値を $(\ast )$ に代入すると$$\begin{array}{cc}f(x)& x\\ 1& 1\mathrm{/}2\\ 2& 2\\ 2\mathrm{/}3& 0,-4\\ 3\mathrm{/}2& 1,5\\ 3\mathrm{/}4& -3\pm \sqrt{10}\end{array}$$となる。$x$ は正の有理数なので、$$x=\frac{1}{2},1,2,5$$である。