東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)
直線 $OP$ は $O(0,0)$，$P(2,4)$ を通るので $y=2x$ である。曲線 $C:y=x^2+2ax+b$ とこの直線の接点の $x$ 座標を $t$ とする。

曲線の接線の傾きは $2x+2a$ であるから，接点での傾きが2である条件は $2t+2a=2$ である。したがって $t=1-a$ である。また接点は直線 $y=2x$ 上にあるので $t^2+2at+b=2t$ である。ここに $a=1-t$ を代入すると $b=2t-t^2-2(1-t)t=t^2$ である。よって $b=(1-a{)}^2$ である。

接点が線分 $OP$ 上にある条件は $0\leqq t\leqq 2$ である。$t=1-a$ だから $-1\leqq a\leqq 1$ である。

(2) $t=1-a$ とおく。(1)より曲線は $$y=x^2+2(1-t)x+t^2=2x+(x-t{)}^2$$ である。平行四辺形 $OPQR$ は $$0\leqq x\leqq 2,2x\leqq y\leqq 2x+1$$ で表される。

曲線が線分 $OR$ と交わるとは，$x=0$，$0\leqq y\leqq 1$ 上に曲線の点があることである。$x=0$ で曲線の $y$ 座標は $t^2$ だから $0\leqq t^2\leqq 1$ である。さらに(1)より $0\leqq t\leqq 2$ なので $0\leqq t\leqq 1$ である。したがって $0\leqq a\leqq 1$ である。

このとき曲線の上側かつ平行四辺形の内部にある部分の縦の長さは $$(2x+1)-\{2x+(x-t{)}^2\}=1-(x-t{)}^2$$ である。$0\leqq t\leqq 1$ では有効な積分区間は $0\leqq x\leqq t+1$ なので $$S(a)={\int }_0^{t+1}\{1-(x-t{)}^2\}dx$$ である。$u=x-t$ とおくと，積分区間は $-t\leqq u\leqq 1$ となり$$S(a)={\int }_{-t}^1(1-u^2)du={[u-{\displaystyle \frac{u^3}{3}}]}_{-t}^1={\displaystyle \frac{2}{3}}+t-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}$$である。$t=1-a$ より $$S(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}+(1-a)-{\displaystyle \frac{(1-a{)}^3}{3}}$$ である。

(3)
(1)より $0\leqq t\leqq 2$ を動かせばよい。一般には $$S={\int }_{\max (0,t-1)}^{\min (2,t+1)}\{1-(x-t{)}^2\}dx$$ である。 $0\leqq t\leqq 1$ では，(2)と同じく $$S={\displaystyle \frac{2}{3}}+t-{\displaystyle \frac{t^3}{3}}$$ であり，微分すると $${\displaystyle \frac{dS}{dt}}=1-t^2\geqq 0$$ である。よってこの範囲では $t=1$ で最大となる。 $1\leqq t\leqq 2$ では積分区間は $t-1\leqq x\leqq 2$ である。$u=x-t$ とおくと $$S={\int }_{-1}^{2-t}(1-u^2)du={\displaystyle \frac{2}{3}}+(2-t)-{\displaystyle \frac{(2-t{)}^3}{3}}$$ である。これは $2-t$ が $1$ から $0$ へ減るにつれて減少するので，この範囲でも最大は $t=1$ である。

したがって最大値は $$S_{\max }={\int }_{-1}^1(1-u^2)du={\displaystyle \frac{4}{3}}$$ である。

図は $t=1$ の場合。上下の差は $1-(x-t{)}^2$ で、積分区間は $[0,2]\cap [t-1,t+1]$。