東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
$f(x)=x^3$ であるから，$x\mathrm{\ne }a$，$y\mathrm{\ne }x$ に注意して $${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}={\displaystyle \frac{x^3-a^3}{x-a}}=x^2+xa+a^2$$ である。また $${\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}}={\displaystyle \frac{y^3-x^3}{y-x}}=y^2+xy+x^2$$ である。右辺から左辺を引くと $$(y^2+xy+x^2)-(x^2+xa+a^2)=y^2+xy-xa-a^2\mathrm{.}$$ これを因数分解すると $$y^2+xy-xa-a^2=(y-a)(x+y+a)$$ である。

条件より $y-a>0$ であり，また $0\leqq a<x<y$ だから $x+y+a>0$ である。したがって $(y-a)(x+y+a)>0$ となり，$${\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}<{\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x}}$$ が成り立つ。

(2)
点 $(y,f(y))$ と $(b,f(b))$ を結ぶ直線において，$x$ に対応する値は ${\displaystyle \frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}}$ である。そこで差を計算する。$f(t)=t^3$ を代入すると$$f(x)-\frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}=x^3-\frac{(x-y)b^3+(b-x)y^3}{b-y}\mathrm{.}$$分母を払って整理すると $$(b-y)x^3-(x-y)b^3-(b-x)y^3=(b-y)(x-b)(x-y)(b+x+y)$$ である。したがって $$f(x)-{\displaystyle \frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}}=(x-b)(x-y)(b+x+y)\mathrm{.}$$ ここで $y<x<b$ だから $x-b<0,x-y>0$ である。よって上の差が常に正であるためには $b+x+y<0$ が常に成り立てばよい。

まず必要性を調べる。$x,y$ をともに $b$ に近づけると，$b+x+y$ は $3b$ にいくらでも近づく。もし $b>0$ なら $x,y$ を十分 $b$ に近く取ることで $b+x+y>0$ となり，不等式は成り立たない。したがって必要条件は $b\leqq 0$ である。

逆に $b\leqq 0$ とする。$y<x<b$ より $x<b$，$y<b$ であるから $b+x+y<b+b+b=3b\leqq 0.$ 実際には $x<b$，$y<b$ なので $b+x+y<0$ である。したがって差は正となり，条件を満たす。

以上より求める範囲は $b\leqq 0$ である。

平均変化率を微分係数の大小として捉える。(1)では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t$ が非負なので $f^{\mathrm{\prime }}$ が増加する。(2)では、区間 $(-\mathrm{\infty },b)$ 上で常にグラフが弦より上にあるための必要十分条件を、$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ の符号から判定する。

(1)
平均値の定理により、ある$$\xi \in (a,x),\eta \in (x,y)$$が存在して$$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\mathrm{\prime }}(\xi ),\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\mathrm{\prime }}(\eta )$$となる。条件 $0\leqq a<x<y$ から $0\leqq \xi <\eta$ である。また$$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2$$は $t\geqq 0$ で狭義単調増加だから $f^{\mathrm{\prime }}(\xi )<f^{\mathrm{\prime }}(\eta )$ であり、求める不等式が従う。

(2)
$b\leqq 0$ とする。任意の $y<x<b$ に対して区間 $[y,b]$ では$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t<0$$である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}$ は狭義単調減少し、$f$ のグラフはこの区間で上に凸である。よって内点 $x$ におけるグラフは、両端 $(y,f(y))$、$(b,f(b))$ を結ぶ弦より厳密に上にあり、問題の不等式が成り立つ。

逆に $b>0$ なら、$0<y<x<b$ を $b$ に十分近く取れる。この小区間では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)>0$ なのでグラフは下に凸であり、内点の値は弦より下になる。したがって条件は満たされない。

以上より$$b\leqq 0$$である。