東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$x=t+\frac{1}{3t}$$ とおく。$0<t\leqq 1\mathrm{/}2$ で微分すると $$\frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{3t^2}$$ である。ここで $0<t\leqq 1\mathrm{/}2$ だから $3t^2\leqq \frac{3}{4}<1$ であり $$\frac{1}{3t^2}>1$$ である。したがって $$\frac{dx}{dt}<0$$ であり、$x$ はこの範囲で単調に減少する。

右端 $t=1\mathrm{/}2$ では $$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{3\cdot (1\mathrm{/}2)}=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}$$ である。また $t\to +0$ のとき $$\frac{1}{3t}\to \mathrm{\infty }$$ なので $x\to \mathrm{\infty }$ である。したがって $x$ のとり得る値の範囲は である。

(2) $h(x)=x^2+ax+b$ とおく。方程式 $x^2+ax+b=0$ が (1) の範囲に少なくとも1つの解を持つことは、半直線 $x\geqq \frac{7}{6}$ 上で $h(x)=0$ となる点があることを意味する。 $h(x)$ は下に凸の2次関数であり、$x\to \mathrm{\infty }$ で $h(x)\to \mathrm{\infty }$ となる。したがって、半直線上に実数解を持つことは、半直線上での最小値が0以下であることと同値である。

頂点の $x$ 座標は $-\frac{a}{2}$ である。

まず $$-\frac{a}{2}\geqq \frac{7}{6}$$ すなわち $a\leqq -\frac{7}{3}$ のとき、頂点は半直線内にある。このとき半直線上の最小値は $$h(-\frac{a}{2})=b-\frac{a^2}{4}$$ である。よって必要十分条件は $b-\frac{a^2}{4}\leqq 0$ すなわち $$b\leqq \frac{a^2}{4}$$ である。

次に $a\geqq -\frac{7}{3}$ のとき、頂点は半直線の左側または端点にある。この場合、$x\geqq 7\mathrm{/}6$ での最小値は端点 $x=7\mathrm{/}6$ での値である。したがって $h\left(\frac{7}{6}\right)\leqq 0$ が条件である。これを計算すると ${\left(\frac{7}{6}\right)}^2+a\frac{7}{6}+b\leqq 0$ すなわち $$b\leqq -\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}$$ である。

以上より、点 $(a,b)$ の存在範囲は$$\{\begin{array}{ll}b\leqq {\displaystyle \frac{a^2}{4}}& (a\leqq -{\displaystyle \frac{7}{3}}),\\ b\leqq -{\displaystyle \frac{7}{6}}a-{\displaystyle \frac{49}{36}}& (a\geqq -{\displaystyle \frac{7}{3}})\end{array}$$である。境界は $a=-7\mathrm{/}3$ で滑らかにつながり、その点は $(-\frac{7}{3},\frac{49}{36})$ である。図示すると、この放物線の下側と、接続する直線の下側を合わせた領域である。

領域を図示すると次のようになる。青い部分は境界を含む。