Evolton
方針
(1) は を の関数として微分し、指定範囲 で単調減少であることを確認する。下端 では無限大へ発散し、右端 で最小値をとる。(2) は、方程式 が に解を持つ条件を、放物線 が半直線上で0以下になる条件に言い換える。頂点が半直線内にあるかどうかで場合分けし、境界を放物線と直線で図示する。
解答
(1) とおく。 で微分すると である。ここで だから であり である。したがって であり、 はこの範囲で単調に減少する。
右端 では である。また のとき なので である。したがって のとり得る値の範囲は である。
(2) とおく。方程式 が (1) の範囲に少なくとも1つの解を持つことは、半直線 上で となる点があることを意味する。 は下に凸の2次関数であり、 で となる。したがって、半直線上に実数解を持つことは、半直線上での最小値が0以下であることと同値である。
頂点の 座標は である。
まず すなわち のとき、頂点は半直線内にある。このとき半直線上の最小値は である。よって必要十分条件は すなわち である。
次に のとき、頂点は半直線の左側または端点にある。この場合、 での最小値は端点 での値である。したがって が条件である。これを計算すると すなわち である。
以上より、点 の存在範囲はである。境界は で滑らかにつながり、その点は である。図示すると、この放物線の下側と、接続する直線の下側を合わせた領域である。
領域を図示すると次のようになる。青い部分は境界を含む。
総評
難度5、計算量5。目安時間は22分。(1) は微分による単調性確認と、 の極限、端点 の値を明確に書く。(2) は「指定された範囲に解を持つ」を2次関数の半直線上の最小値が0以下であることに翻訳できるかが重要である。頂点が に入る場合と入らない場合で境界が変わる。 では放物線境界と直線境界が接続するので、図示ではその点を基準に下側領域を塗る。 別解監査では、判別式で実根条件を出して大きい方の根を調べる方法も可能だが、半直線上の最小値による場合分けと同値であり、独立解法としては数えていない。
