東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OB}$$とする。

まず $M$ は $AB$ の中点であるから $$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}}$$ である。

次に $C$ は $\mathrm{\angle }AOB$ の二等分線と $AB$ の交点である。角の二等分線の性質より $AC:CB=OA:OB=2:1$ である。したがって $C$ は $AB$ を $2:1$ に内分する点なので $$\overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}}{3}}$$ である。

最後に $D$ を求める。$D$ は $AB$ 上にあるから$$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{a}+s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})$$とおける。$D$ は $O$ から $AB$ へ下ろした垂線の足なので $$\overrightarrow{OD}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=0$$ である。ここで$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2=4,\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}{\mathrm{\mid }}^2=1,\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=t$$であるから $$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})=t-4$$ であり，$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}{\mathrm{\mid }}^2=1+4-2t=5-2t$$ である。よって $(t-4)+s(5-2t)=0$ となり $$s={\displaystyle \frac{4-t}{5-2t}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{OD}=(1-{\displaystyle \frac{4-t}{5-2t}})\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{4-t}{5-2t}}\overrightarrow{b}$$すなわち$$\overrightarrow{OD}={\displaystyle \frac{1-t}{5-2t}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{4-t}{5-2t}}\overrightarrow{b}$$である。

(2)
三角形がつぶれないためには，$\mathrm{\mid }\overrightarrow{a}\mathrm{\mid }=2$，$\mathrm{\mid }\overrightarrow{b}\mathrm{\mid }=1$ より $-2<t<2$ である。この範囲では $5-2t>0$ である。 $AB$ 上のパラメータ $s$ で見ると，$A,M,C,D,B$ に対応する値は順に $0,{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{2}{3}},{\displaystyle \frac{4-t}{5-2t}},1$ である。したがって，この順に並び，どの2点も一致しない条件は $${\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{4-t}{5-2t}}<1$$ である。

分母は正なので，左の不等式から $3(4-t)>2(5-2t)$ すなわち $12-3t>10-4t$ であり，$t>-2$ を得る。右の不等式から $4-t<5-2t$ であり，$t<1$ を得る。

もともとの三角形の条件 $-2<t<2$ と合わせると，求める範囲は $-2<t<1$ である。

辺 $AB$ を $A+s(B-A)$ と表すと、順序条件は $s$ の大小関係になる。