東北大 2008年度理系（後期）数学第2問｜問題・解答・解説

方針

接点の $x$ 座標を $t$ と置くと，接線 $O P$ は $y = 2 x$ なので $t = 1 - a$ ， $b = t^{2}$ が決まる。曲線は $y = 2 x + (x - t)^{2}$ と書け，平行四辺形内で曲線の上側に残る縦の長さは $1 - (x - t)^{2}$ である。 $0 ≦ t ≦ 2$ で積分区間を共通部分として表し，最大値は $t = 1$ で得る。

解答

(1)
直線 $O P$ は $y = 2 x$ である。曲線 $C : y = x^{2} + 2 a x + b$ とこの直線の接点の $x$ 座標を $t$ とする。

曲線の傾きは $2 x + 2 a$ であるから，接点での傾きが2である条件は $2 t + 2 a = 2$ であり， $t = 1 - a$ である。また接点は $y = 2 x$ 上にあるので $t^{2} + 2 a t + b = 2 t$ である。 $a = 1 - t$ を代入して $b = 2 t - t^{2} - 2 (1 - t) t = t^{2}$ を得る。したがって $b = (1 - a)^{2}$ である。

接点が線分 $O P$ 上にある条件は $0 ≦ t ≦ 2$ である。 $t = 1 - a$ より $- 1 ≦ a ≦ 1$ である。

(2) $t = 1 - a$ とおくと，曲線は $y = x^{2} + 2 (1 - t) x + t^{2} = 2 x + (x - t)^{2}$ である。また平行四辺形 $O P Q R$ は $0 ≦ x ≦ 2, 2 x ≦ y ≦ 2 x + 1$ で表される。

曲線の上側かつ平行四辺形の内部にある部分の縦の長さは $(2 x + 1) - {2 x + (x - t)^{2}} = 1 - (x - t)^{2}$ である。ただしこれは $∣ x - t ∣ ≦ 1$ の範囲でだけ正であり，さらに $0 ≦ x ≦ 2$ でなければならない。よって $S (a) = \int_{\max (0, t - 1)}^{\min (2, t + 1)} {1 - (x - t)^{2}} d x$ である。 $0 ≦ t ≦ 1$ のときは $S = \int_{0}^{t + 1} {1 - (x - t)^{2}} d x = \frac{2}{3} + t - \frac{t^{3}}{3}$ であり，これは $t$ について増加する。 $1 ≦ t ≦ 2$ のときは $S = \int_{t - 1}^{2} {1 - (x - t)^{2}} d x = \frac{2}{3} + (2 - t) - \frac{(2 - t)^{3}}{3}$ であり，これは $t$ について減少する。したがって最大は $t = 1$ のときであり， $S_{\max} = \int_{- 1}^{1} (1 - u^{2}) d u = \frac{4}{3}$ である。

図は $t = 1$ の場合。上下の差は $1 - (x - t)^{2}$ で、積分区間は $[0, 2] \cap [t - 1, t + 1]$ 。

総評

難度は10段階中6、計算量は10段階中5。試験場での目安は24分で、接線条件と面積最大化を結びつける問題である。採点点は、接点を $t = 1 - a$ と置いて曲線を $2 x + (x - t)^{2}$ に直すこと、平行四辺形内の縦の長さを $1 - (x - t)^{2}$ と見ること、積分区間が $[0, 2]$ と $[t - 1, t + 1]$ の共通部分になることにある。最大値は対称な $t = 1$ で出るが、その理由を場合分けで示すと説得力がある。

出典: 東北大学 2008年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

方針

解答

総評

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