東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
位置ベクトルを用いて考える。任意の点 $P$ に対して$$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OP}$$である。同様に$$\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}-2\overrightarrow{OP}$$である。したがって条件は$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}$$と同値であり，点 $P$ には依存しない。

ここで $M,N$ はそれぞれ $AB,CD$ の中点だから$$\overrightarrow{OM}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2},\overrightarrow{ON}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}$$である。よって上の条件は $$\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}$$ すなわち $M=N$ を意味する。

しかし，$M=N$ なら $$A=M+\vec{u},B=M-\vec{u},C=M+\vec{v},D=M-\vec{v}$$ と書けるので，4点 $A,B,C,D$ は $M$ を通り $\vec{u},\vec{v}$ で張られる同一平面上にある。これは四面体であることに反する。したがって $\text{条件を満たす点 }P\text{ は存在しない}$ である。

(2)
中点 $M,N$ を用いると$$\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}=2\overrightarrow{QM},\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{QD}=2\overrightarrow{QN}$$である。したがって条件$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{QA}+\overrightarrow{QB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{QC}+\overrightarrow{QD}\mathrm{\mid }$$は $2QM=2QN$ すなわち $QM=QN$ と同値である。

よって点 $Q$ の軌跡は，2点 $M,N$ から等距離にある点全体である。したがって $\text{線分 }MN\text{ の垂直二等分平面}$ である。

(3)
中点公式を使う。$M$ は $AB$ の中点なので $$R{A}^2+R{B}^2=2R{M}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}A{B}^2$$ である。同様に $$R{C}^2+R{D}^2=2R{N}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}C{D}^2$$ である。与えられた条件から $$2R{M}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}A{B}^2=2R{N}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}C{D}^2$$ となるので $$R{M}^2-R{N}^2={\displaystyle \frac{C{D}^2-A{B}^2}{4}}$$ である。

ここで $$\overrightarrow{MR}=\vec{r},\overrightarrow{MN}=\vec{n}$$ とおくと $$R{M}^2=\mathrm{\mid }\vec{r}{\mathrm{\mid }}^2,R{N}^2=\mathrm{\mid }\vec{r}-\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2$$ である。したがって$$R{M}^2-R{N}^2=\mathrm{\mid }\vec{r}{\mathrm{\mid }}^2-\mathrm{\mid }\vec{r}-\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2=2\vec{n}\cdot \vec{r}-\mathrm{\mid }\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$すなわち $$2\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MR}-M{N}^2={\displaystyle \frac{C{D}^2-A{B}^2}{4}}$$ であるから$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MR}=\frac{M{N}^2}{2}+\frac{C{D}^2-A{B}^2}{8}\mathrm{.}$$右辺は四面体によって決まる定数であり，$R$ のとり方に依存しない。よって $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MR}\text{ は一定}$ である。

(4)
(2) の軌跡を式で表す。点 $X$ が $QM=QN$ に対応する平面上にあることは $X{M}^2=X{N}^2$ と同値である。$$\overrightarrow{MX}=\vec{x}$$，$$\overrightarrow{MN}=\vec{n}$$ とおくと $$\mathrm{\mid }\vec{x}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{x}-\vec{n}{\mathrm{\mid }}^2$$ より $$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MX}={\displaystyle \frac{M{N}^2}{2}}$$ である。

一方，(3) の軌跡は$$\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{MX}=\frac{M{N}^2}{2}+\frac{C{D}^2-A{B}^2}{8}$$で表される平面である。四面体では $M\mathrm{\ne }N$ なので，この2つは同じ法線方向をもつ平行な平面である。したがって両者が一致するための必要十分条件は，右辺の定数が等しいこと，すなわち $${\displaystyle \frac{C{D}^2-A{B}^2}{8}}=0$$ である。よって $A{B}^2=C{D}^2$ であり，長さは正だから $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{AB}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\overrightarrow{CD}\mathrm{\mid }$$ が必要十分条件である。

【中点を結ぶ方向の確認】

2つの軌跡は、いずれも $\overrightarrow{MN}$ を法線にもつ平面になる。