東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ のとき3本の線分は中線となり，交点は重心に一致する．

(1)

$x+y+z=0$より $z=-x-y$ である。したがって $$x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}=\vec{0}$$ は $$x(\vec{a}-\vec{c})+y(\vec{b}-\vec{c})=\vec{0}$$ と書ける。3点$A,B,C$は一直線上にないので，$\vec{a}-\vec{c}$と$\vec{b}-\vec{c}$は平行でない。よってこの一次結合が零ベクトルになるには $x=0,y=0$ でなければならない。すると$z=-x-y=0$である。したがって $x=y=z=0$ である。

(2)

内分点の位置ベクトルは$$\vec{d}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c},\vec{e}=(1-t)\vec{c}+t\vec{a},\vec{f}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$$である。

$G$は$BE$上にあるので，ある$s$を用いて $$\vec{g}=(1-s)\vec{b}+s\vec{e}=st\vec{a}+(1-s)\vec{b}+s(1-t)\vec{c}$$ と表せる。また$G$は$CF$上にもあるので，ある$u$を用いて $$\vec{g}=(1-u)\vec{c}+u\vec{f}=u(1-t)\vec{a}+ut\vec{b}+(1-u)\vec{c}$$ と表せる。係数の和はいずれも1なので，(1)の結果により係数を比較してよい。したがって $$st=u(1-t),1-s=ut,s(1-t)=1-u$$ である。

これを解く。$1-s=ut$より$u=(1-s)\mathrm{/}t$である。これを第一式に代入すると $$st={\displaystyle \frac{1-s}{t}}(1-t)$$ であり，$s(t^2-t+1)=1-t$ となる。よって $$s={\displaystyle \frac{1-t}{t^2-t+1}}$$ である。したがって $$\vec{g}={\displaystyle \frac{t(1-t)\vec{a}+t^2\vec{b}+(1-t{)}^2\vec{c}}{t^2-t+1}}$$ である。

(3)

(2) と同様に巡回的に計算すると，$$\vec{h}={\displaystyle \frac{(1-t{)}^2\vec{a}+t(1-t)\vec{b}+t^2\vec{c}}{t^2-t+1}}$$ であり，$$\vec{i}={\displaystyle \frac{t^2\vec{a}+(1-t{)}^2\vec{b}+t(1-t)\vec{c}}{t^2-t+1}}$$ である。

3点$G,H,I$が一致するためには，(1)の係数の一意性により，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$の係数がそれぞれ一致すればよい。たとえば$\vec{g}=\vec{h}$を考えると，分母は共通なので $t(1-t)=(1-t{)}^2$ が必要である。$0<t<1$だから$1-t\mathrm{\ne }0$であり，$t=1-t$ を得る。したがって $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

実際に$t=1\mathrm{/}2$のとき，$G,H,I$の係数はいずれも ${\displaystyle \frac{1}{3}},\frac{1}{3},\frac{1}{3}$ となるので3点は一致する。よって求める値は $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

3本の線分 $AD,BE,CF$ が1点で交わる条件だけなら，辺上の3つの内分比へチェバの定理を適用すると一行で決まる．

$G,H,I$ が一致することは，3本の線分 $AD,BE,CF$ が1点で交わることと同値である．チェバの定理より，その必要十分条件は$${\displaystyle \frac{BD}{DC}}\cdot {\displaystyle \frac{CE}{EA}}\cdot {\displaystyle \frac{AF}{FB}}=1$$である．各点は同じ比 $t:(1-t)$ に内分するので$${\left({\displaystyle \frac{t}{1-t}}\right)}^3=1.$$$0<t<1$ より $t\mathrm{/}(1-t)>0$ だから$${\displaystyle \frac{t}{1-t}}=1,t={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$逆に $t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ なら3本は三角形の中線であり，重心で交わる．したがって求める値は$$t={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である．