東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$$ とおく。$M$ は $OA$ の中点だから $$\overrightarrow{OM}={\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{a}$$ であり，$N$ は $OB$ を $2:1$ に内分する点だから $$\overrightarrow{ON}={\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{b}$$ である。

点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので，ある実数 $s$ を用いて $$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+s\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{b}$$ と表せる。また $P$ は線分 $BM$ 上にもあるので，ある実数 $t$ を用いて $$\overrightarrow{OP}=t\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\vec{a}+(1-t)\vec{b}$$ と表せる。

係数を比較すると $$1-s={\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{2s}{3}}=1-t$$ である。第1式から $t=2(1-s)$ であり，これを第2式に代入すると $${\displaystyle \frac{2s}{3}}=1-2(1-s)=2s-1$$ である。したがって $$2s=6s-3,s={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。よって$$\overrightarrow{OP}=(1-\frac{3}{4})\vec{a}+\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}\vec{b}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$$である。

(2)
座標を入れて計算する。$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OA}\mathrm{\mid }=1$ なので $A=(1,0)$ とおく。また $$B=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ とおく。ここで $r=OB$ である。$c=\cos \theta$，$s=\sin \theta$ と書けば $B=(rc,rs)$ である。

外接円は点 $A,B$ を通る。さらに直線 $OA$ に接するので，接点は $A$ であり，円の中心を $S$ とすると $SA\perp OA$ である。同様に，直線 $OB$ に接するので接点は $B$ であり，$SB\perp OB$ である。

半径は同じだから $SA=SB$ である。直角三角形 $OAS$ と $OBS$ を見ると $O{S}^2=O{A}^2+S{A}^2=1+S{A}^2$ であり，また $O{S}^2=O{B}^2+S{B}^2=r^2+S{B}^2$ である。$SA=SB$ より $1=r^2$ となる。$r>0$ だから $r=1$ である。

したがって $B=(c,s)$ である。円の中心は $SA\perp OA$ より $S=(1,h)$ とおける。また $SB\perp OB$ より $(S-B)\cdot B=0$ である。すなわち $(1-c,h-s)\cdot (c,s)=0$ なので $c(1-c)+s(h-s)=0.$ $c^2+s^2=1$ を用いると $c+hs-1=0$ であり，$$h={\displaystyle \frac{1-c}{s}}$$ である。

(1)
より $$P={\displaystyle \frac{1}{4}}A+{\displaystyle \frac{1}{2}}B=({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{c}{2}},{\displaystyle \frac{s}{2}})$$ である。$P$ が外接円上にあるためには $S{P}^2=S{A}^2=h^2$ であればよい。左辺から右辺を引くと$${(\frac{1}{4}+\frac{c}{2}-1)}^2+{(\frac{s}{2}-h)}^2-h^2=\frac{4c^2+4c+4s^2-7}{16}\mathrm{.}$$$c^2+s^2=1$ より，これは ${\displaystyle \frac{4c-3}{16}}$ である。したがって $$4c-3=0,c={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

求める内積は$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\mathrm{\mid }OA\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }OB\mathrm{\mid }\cos \theta =1\cdot 1\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$である。

交点と接円の配置

外接円は直線 $OA,OB$ にそれぞれ $A,B$ で接する。

(1) は2本の中線型の線分を係数表示する。(2)では円をベクトル方程式 $\mathrm{\mid }\vec{x}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{c}\cdot \vec{x}+d=0$ とおき、$A,B$ における接線方向がそれぞれ $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ である条件を使う。円周上の点 $P$ を代入すれば内積が直接決まる。

(1) $$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$$とおく。$P\in AN$ より$$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+\frac{2s}{3}\vec{b},$$$P\in BM$ より$$\overrightarrow{OP}=\frac{t}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b}$$と書ける。係数比較から$$1-s=\frac{t}{2},\frac{2s}{3}=1-t$$であり、$s=3\mathrm{/}4$ を得る。したがって$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\mathrm{.}$$(2)
円上の点を表すベクトルを $\vec{x}$ とし、外接円の方程式を$$\mathrm{\mid }\vec{x}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{c}\cdot \vec{x}+d=0$$とおく。ここで $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=1$ である。

円は直線 $OA$ に $A$ で接する。したがって (2) の $A$ における法線ベクトル $2\vec{a}+\vec{c}$ は $\vec{a}$ と直交するので$$(2\vec{a}+\vec{c})\cdot \vec{a}=0,\vec{c}\cdot \vec{a}=-2.$$さらに $A$ をこの円の方程式に代入すると$$1-2+d=0,d=1.$$同様に、$B$ における接線方向は $\vec{b}$ だから$$\vec{c}\cdot \vec{b}=-2\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$これと $B$ を円の方程式に代入した式、さらに $d=1$ を合わせると$$\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-2\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+1=0,\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1.$$$q=\vec{a}\cdot \vec{b}$ とおく。(1)で求めた $\overrightarrow{OP}$ より$$\vec{p}=\overrightarrow{OP}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\mathrm{.}$$$d=1$ と $\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1$ を用いると$$\mathrm{\mid }\vec{p}{\mathrm{\mid }}^2=\frac{5}{16}+\frac{q}{4},\vec{c}\cdot \vec{p}=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}\mathrm{.}$$$P$ も円周上なので円の方程式に代入して$$\frac{5}{16}+\frac{q}{4}-\frac{3}{2}+1=0.$$よって$$q=\frac{3}{4}\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{3}{4}$$である。