東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f(x)$ が零多項式でないとし，その次数を $m$，最高次の係数を $c$ とする。すなわち $$f(x)=c{x}^m+\text{次数が }m\text{ 未満の項}$$ である。このとき $$x^{4}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=c{x}^{4-m}+\text{それ以外の項}$$ となる。

もし $m>4$ ならば $4-m<0$ であり，$x^{4}f(1\mathrm{/}x)$ には負の次数の項が現れる。これは多項式 $f(x)$ と等しくなれない。したがって条件(i)を満たす多項式の次数は $4\text{ 以下}$ である。零多項式の場合も主張に反しない。

(2)
(1)より $$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$$ とおける。条件(i)から $$x^{4}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)=a+bx+c{x}^2+d{x}^3+e{x}^4$$ である。これが $f(x)$ に等しいので，係数比較により $e=a,d=b$ である。よって $$f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a$$ と書ける。

条件(ii)を用いる。$(1-x{)}^2,(1-x{)}^3,(1-x{)}^4$ を展開して係数を比較すると，$x^3$ の係数から $-4a-b=b$ となるので $b=-2a$ である。また $x$ の係数から $-4a-4b-2c=b$ となる。ここに $b=-2a$ を代入して $c=3a$ を得る。

したがって $$f(x)=a(x^4-2x^3+3x^2-2x+1)$$ である。条件(iii)より $1=f(1)=a(1-2+3-2+1)=a$ だから $a=1$ である。よって $f(x)=x^4-2x^3+3x^2-2x+1$ である。

(1) は最高次項だけを追って次数を制限する。(2)では条件(ii)を先に使い、$q=x(1-x)$ の2次式として $f$ を表す。条件(i)の係数比較を3文字に圧縮し、条件(iii)で定数倍を決める。

(1)
$f$ の次数を $m$、最高次係数を $c\mathrm{\ne }0$ とする。$x^{4}f(1\mathrm{/}x)$ には $c{x}^{4-m}$ が現れる。$m>4$ なら負の次数の項になり、多項式 $f(x)$ と一致できない。よって $m\leqq 4$ である。零多項式も次数について主張に反しない。

(2)
条件(ii)より、$q=x(1-x)$ を用いて$$f(x)=A{q}^2+Bq+C$$と表せる。実際、$u=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ とおけば $f$ は $u$ の偶多項式であり、$u^2={\displaystyle \frac{1}{4}}-q$ だからである。

条件(i)の左辺との差を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle x^{4}f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)-f(x)=}& {\displaystyle (-A+C)x^4+(2A+B)x^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(-2A-B)x+(A-C)\mathrm{.}}\end{array}$$恒等的に $0$ となる条件は $C=A,B=-2A$ である。したがって$$f(x)=A(q-1{)}^2=A(x^2-x+1{)}^2\mathrm{.}$$最後に $f(1)=1$ より $A=1$ である。ゆえに$$f(x)=(x^2-x+1{)}^2$$となる。