東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

$R(x)$は2つの割り算の共通の余りである。したがって $Q(x)=P(x)-R(x)$ とおくと，$Q(x)$は$(x-a)(x-b)$で割り切れ，かつ$(x-c)(x-d)$でも割り切れる。よって $Q(a)=Q(b)=Q(c)=Q(d)=0$ である。また$P(x)$は3次式であり，$R(x)$は2次式で割った余りなので1次式以下である。したがって$Q(x)$は3次式である。

(2)

3次式が相異なる4つの実数根をもつことはできない。ところが(1)より，$a,b,c,d$はいずれも$Q(x)$の根である。したがって$a,b,c,d$のうち少なくとも2つは等しい。

条件として $$a<b,c<d,b\mathrm{\ne }c,a\mathrm{\ne }d$$ が与えられている。したがって等しい可能性がある組は $$a=c\text{または}b=d$$ だけである。よって $a=c\text{ または }b=d$ である。

(3) $$F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$$とおくと，与えられた $P(x)$ は積の微分そのものだから$$P(x)=F^{\mathrm{\prime }}(x)$$である．よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(a)}& {\displaystyle =(a-b)(a-c)(a-d),}\\ {\displaystyle P(b)}& {\displaystyle =(b-a)(b-c)(b-d),}\\ {\displaystyle P(c)}& {\displaystyle =(c-a)(c-b)(c-d),}\\ {\displaystyle P(d)}& {\displaystyle =(d-a)(d-b)(d-c)\mathrm{.}}\end{array}$$共通の余り $R(x)$ は1次式以下である．したがって，区間
$[a,b]$ と $[c,d]$ でその傾きを計算すると$${\displaystyle \frac{P(b)-P(a)}{b-a}}={\displaystyle \frac{P(d)-P(c)}{d-c}}\mathrm{.}$$左辺と右辺を整理すると，それぞれ$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{P(b)-P(a)}{b-a}}}& {\displaystyle =a^2-ac-ad+b^2-bc-bd+2cd,}\\ {\displaystyle {\displaystyle \frac{P(d)-P(c)}{d-c}}}& {\displaystyle =2ab-ac-ad-bc-bd+c^2+d^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって両者の差を因数分解して$$(a-b-c+d)(a-b+c-d)=0$$を得る．ここで$$a-b+c-d=-\{(b-a)+(d-c)\}<0$$だから，もう一方の因子が0でなければならない．よって$$a-b-c+d=0,b-a=d-c$$である．

(2) より $a=c$ または $b=d$ である．$a=c$ なら$$b-a=d-c=d-a$$から $b=d$ を得る．また $b=d$ なら$$b-a=b-c$$から $a=c$ を得る．したがって，どちらの場合にも$$a=c,b=d$$となる．