東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

$a+b=c$であるから $c^3=(a+b{)}^3$ である。右辺を展開すると $$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$$ である。$a+b=c$を代入して $c^3=a^3+b^3+3abc$ となる。よって $a^3+b^3+3abc=c^3$ である。

(2)

$s=a+b$とおく。仮定より $s\geqq c$ である。また(1)の展開から，任意の実数$a,b$について $$a^3+b^3+3ab(a+b)=(a+b{)}^3$$ すなわち $a^3+b^3+3abs=s^3$ が成り立つ。

示すべき差を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a^3+b^3+3abc-c^3}& {\displaystyle =(s^3-3abs)+3abc-c^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =s^3-c^3-3ab(s-c)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(s-c)(s^2+sc+c^2-3ab)}\end{array}$$である。

ここで $(a-b{)}^2\geqq 0$ より $(a+b{)}^2\geqq 4ab$ だから $$ab\leqq {\displaystyle \frac{s^2}{4}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle s^2+sc+c^2-3ab}& {\displaystyle \geqq s^2+sc+c^2-{\displaystyle \frac{3s^2}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{s^2}{4}}+sc+c^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={({\displaystyle \frac{s}{2}}+c)}^2\geqq 0}\end{array}$$である。

また$s-c\geqq 0$なので $(s-c)(s^2+sc+c^2-3ab)\geqq 0$ である。よって $a^3+b^3+3abc\geqq c^3$ が成り立つ。