東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $\mathrm{\angle }{A}_{1}O{A}_2=\varphi$ とおく。$\mathrm{△}O{A}_1{A}_2$ は $A_2$ で直角で，$O{A}_1=1$，$$A_1{A}_2=1\mathrm{/}\sqrt{n}$$ である。したがって $$\sin \varphi ={\displaystyle \frac{A_1{A}_2}{O{A}_1}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$$ であり，$$\cos \varphi =\sqrt{1-{\displaystyle \frac{1}{n}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{n-1}{n}}}$$ である。

最初の垂線ベクトルの長さは $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_1}\mathrm{\mid }=A_1{A}_2={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$$ である。以後，片方の半直線からもう片方の半直線へ垂線を下ろすたびに，同じ角 $\varphi$ をもつ直角三角形ができるので，長さは毎回 $\cos \varphi$ 倍になる。よって$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_k}\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{n-1}{n}}}\right)}^{k-1}$$である。

また，隣り合う $\overrightarrow{h_k}$ と $\overrightarrow{h_{k+1}}$ のなす角の余弦は，向きまで考えると $$-\cos \varphi =-\sqrt{{\displaystyle \frac{n-1}{n}}}$$ である。したがって$$\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}=\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_k}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\overrightarrow{h_{k+1}}\mathrm{\mid }(-\sqrt{{\displaystyle \frac{n-1}{n}}})$$であり，長さを代入して$$\overrightarrow{h_k}\cdot \overrightarrow{h_{k+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{n}}{\left({\displaystyle \frac{n-1}{n}}\right)}^k$$を得る。

(2)
(1)より $$S_n=-{\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^k$$ である。ここで $r=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ とおくと $$\sum _{k=1}^n{r}^k={\displaystyle \frac{r(1-r^n)}{1-r}}$$ であり，$1-r=1\mathrm{/}n$ だから$$S_n=-r(1-r^n)=-(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})\{1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n\}$$である。

与えられた $e$ の定義から $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n={\displaystyle \frac{1}{e}}$$ である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_n=-1\cdot (1-{\displaystyle \frac{1}{e}})={\displaystyle \frac{1}{e}}-1$$ である。

2本の半直線への直交射影を交互に繰り返すため、各線分の長さは一定比で縮む。